Файл: Игнатов, В. А. Статистическая оптимизация качества функционирования электронных систем.pdf

16*

Дисперсии и вариации оценок максимального правдоподобия для рассматриваемых интенсивностей по-прежнему находят по формулам

Пример 7-1. Предположим, что на надежность испытывается пар­ тия приемно-усилительных ламп из Na= 20 шт. Выходным парамет­ ром служит крутизна X характеристики. Лампы работоспособны, если Х > х кѵ=0,5хт (хт — максимальное среднее значение крутизны характеристик для всей партии в начальный момент времени). До­ пустим, что учитывались две градации качества функционирования ламп: Х>0,7хт и 0,5xm<2f^;0,7xm. Имеются следующие результаты испытаний:

Го =14, г'0=6, т 0=0, Гі=9, г',=5, т і = 6,

Воспользуемся формулами (7-1)— (7-3) и получим оценки ма­ ксимального правдоподобия и их вариации

236

Выберем достоверность у=0,9 и доверительные вероятности уі = =0,95, у2=0,05. Используем номограмму рис. 7-1 для получения интервальных оценок для интенсивностей. Получим:

0,573- 10-3^ П о ^ 1 ,27Юг3;

0,928- 10-3s£Aos:0,375- 10“ 3;

0,351 • 10-3sgrii:=Sl,06- ІО-3;

0,247 -10-3^Х і^і1,17 - ІО“ 3.

Как показывает пример, задача статистической оценки исходных интенсивностей сводится к определению соответствующих продолжи­ тельностей пребывания эксплуатируемых устройств (или элементов) в определенных состояниях и подсчета общего числа таких пребыва­ ний для каждого состояния. Следовательно, для получения исходной статистической информации целесообразно применять следующую простую форму, позволяющую с малой трудоемкостью вычислять искомые оценки табл. 7-1.

Таблица 7-1

Интересно заметить, что эта форма практически не зависит от сложности исследуемой системы, вида применяемой модели, условий эксплуатации и точности оценки характеристик.

В табл. 7-1 дан пример заполнения этой формы применительно к приемнику радиолокационной станции, для которого определяющим параметром служит чувствительность.

Для удобства записи основных состояний устройства применя­

транспортировка; X — хранение и др.

При заполнении формы необходимо использовать оптимальную периодичность контроля работоспособности устройства в зависимости

2 37

от дисперсии и интенсивности ухудшения выходных параметров (см. § 4-2). Так как записи в журнале учета статистики производят в ди­ скретные моменты времени контроля работоспособности или измене­ ния состояния, то исходные статистические данные получают при минимальных затратах времени обслуживающего персонала.

В этом параграфе рассмотрены особенности оценки параметров экспоненциальных законов распределений для марковских однород­ ных моделей. Особенностью оценки параметров неоднородных моде­ лей является необходимость решения не одного, а системы нелиней­ ных уравнений для определения нескольких параметров (см. § 7-3).

7-3. Оценка параметров математических моделей в условиях неполной определенности

Задачу оценки параметров математических моделей в условиях неполной определенности рассмотрим на примере оценки интенсив­ ности отказов. С очевидными изменениями все рассуждения и полу­ ченные результаты в равной мере относятся к любой другой интен­ сивности марковской однородной или неоднородной модели.

ту времени t.

Рассмотрим два основных вида неопределенности; неопределен­

торых из этих величин и процессов, например реализации d(t). По таким статистическим данным необходимо оценить интенсивность отказов Л(£), а также, если требуется, то и характеристики остав­ шихся неизвестных из числа /V, R (t) и d (t).

Ясно, что основную информацию о зависимости интенсивности отказов от времени несут процессы R(t) и d(t), поэтому целесооб­ разно рассматривать четыре основных типа задач. К первому типу относятся задачи, в которых известны реализации N и R(t), ко вто­

d(t). В первых двух типах задач требуется определить характери­

Так как приближенное решение задач первых трех типов до­ вольно просто и требует привлечения всего лишь метода линеариза­ ции и нормальной аппроксимации одномерного распределения Л(£), мы остановимся на задаче четвертого типа.

Пусть реализации d(t) известны, требуется определить характе­ ристики A(t) и N. Так как реализации d(t) имеют разрывы первого рода, целесообразно использовать квантование времени и решение

искать на временной решетке £і = £А£, і=О, I, Л£=Т/І, где Т — про­ должительность интервала наблюдения. Для упрощения записи обо­ значим d(iAi)—di, A(iAt)=Ai. Величины di играют роль порядко­ вых статистик.

238

Ш

ее отличие в том, что di, dj и N являются случайными величинами.

где vt = (di+1 — di) dt 1 .

Трансцендентное уравнение (7-11) является основным для опре­ деления характеристик интенсивности в том случае, когда известны только характеристики числа отказавших элементов. Так как полу­

обрабатывать. Отсюда же следует, что определение Л(/) для произ­ вольного закона распределения является серьезной и сложной за­ дачей.

Часто предполагают, что распределение име'ет удобный одноили двухпараметрический вид; например, принадлежит к семействам гамма-распределений, нормальных распределений, распределений

неприменимы из-за отсутствия необходимой информации и из-за громоздкости аналитических выражений, поэтому лучше всего приме­ нять метод наименьших квадратов, который хотя и дает менее эффективные оценки, но приводит к относительно простым системам уравнений.

Иногда удобно отказаться от привычных распределений и при­ менять квазидетерминироваиные представления

п

п

ностью-до параметров известен аналитический вид Л (аь аі, t), т. е. известен характер предполагаемого распределения. Тогда реализации

параметров а*, а і определяют из решения системы уравнений (7-11),

239