Файл: Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве.pdf

Из таблицы приложения 4 найдем р = 0,99, т. е. с высокой степенью вероят­ ности данные по производительности бульдозеров не противоречат закону бетараспределения с параметрами ц е й и ys^5,6. Канд. техн. наук Ю. А. Мальцевым аналогичным образом были изучены данные по производительности других видов машин.

Результаты обработки приводятся в табл. 10. Как видно из приведенных в ней данных, была установлена вероятность соответствия как бета, так щ нормаль­ ному распределению. Обе эти вероятности оказались достаточно близкими, что объясняется малой асимметрией графиков f(t) для всех типов машин (см. пара­ метры г] и у в табл. 10 и рис. 14).

Т а б л и ц а 10

Таким образом, этот анализ показал, что производительность наиболее широко применяемых в дорожном строительстве машин хорошо описывается законами бета- и нормального распределения. При решении практических задач следует отдать предпочтение нор­ мальному распределению как более простому.

§ 9. Понятие о доверительных оценках

При изучении вероятностных процессов в практических целях возникает необходимость по ограниченному числу имеющихся на­ блюдений (выборка из генеральной совокупности) прежде всего выяснить, какому закону распределения подчинена случайная ве­ личина. При этом используются вычисленные по материалам вы­ борки значения эмпирического, среднего I и дисперсии о2 (см. примеры 1 и 2 § 8). Сами эти величины имеют большое значение, и потому необходимо знать, какова их точность, или, иначе говоря, надежность.

Задача формулируется следующим образом: требуется опреде­ лить вероятность г того, что разница между эмпирическим средним t и истинным неизвестным нам математическим ожиданием t не

превзойдет некоторой величины а. Это условие записывается обыч­ но так:

р( | t —t ] < а ) = е . (IV.5)

58

Из (IV.5) следует, что истинное неизвестное нам математиче­ ское ожидание t случайной величины будет находиться в преде­ лах от I—а до t + a. Величина е носит название доверительного коэффициента или доверительного уровня. В практических задачах в зависимости от требуемой надежности их решения принимают

е=0,95; 0,99; 0,999.

Аналогично может ставиться вопрос_и о степени точности сред­

Основная задача состоит теперь в том, чтобы определить пара­ метр а в зависимости от числа опытов (объема выборки) и закона распределения случайной величины. Наиболее полно она решена для нормально распределенных случайных величин.

Для решения этой задачи вместо случайной величины t вводит­ ся новая случайная величина Т по соотношению

°с

i-i______

где (IV.8)

п ( п - 1)

Ранее была приведена формула (III. 12) для вычисления так на­ зываемой статистической дисперсии по данным выборки. В матема­ тической статистике доказывается [32], что более правильно вели­ чину дисперсии определять из зависимости

2 с , - - о 2

о2 = г- 1 (IV.9) п — 1

Величина а2 носит название несмещенной оценки дисперсии случайной величины. Тогда формулу (IV.7) можно записать в виде

V п

ставляет собой несмещенную оценку среднеквадратичного откло­ нения математического ожидания t случайной величины. Следова­ тельно, с увеличением выборки среднеквадратичное отклонение статистического среднего неограниченно уменьшается и само сред­ нее стремится к истинному значению математического ожидания t случайной величины.

59

Таким образом, зависимость (IV. 10) характеризует отклонение статистического среднего I от математического ожидания t, вы-

с

раженное в величинах среднеквадратического отклонения —— ~—

У п

— ас среднего.

Такое отклонение (в безразмерных единицах, так как размер­ ности t и 0 одинаковы) носит название нормированного. В теории

вероятностей доказывается [8], что случайная величина Т подчи­ няется закону распределения Стюдента с плотностью распределе­ ния:

где Г(U) — гамма-функция, характеризуемая интегралом (III.31). Как видно из (IV. 12), распределение Стюдента не зависит от t и а, а определяется лишь числом наблюдений п (объемом выбор­

ки) и аргументом |. Таблица распределения Стюдента приведена в приложении 5.

Распределение Стюдента позволяет определить величину а в соотношении (IV.5). В самом деле, найдем вероятность попадания

60

где £а = - ^ - , причем ас предварительно должно быть вычислено

в соответствии с (IV.8).

Таким образом, доверительные границы для эмпирического среднего I устанавливают по следующей методике:

1. На основе экспериментальных данных с помощью формулы

(IV.8) вычисляют величину ос.

2.В зависимости от требуемой надежности доверительного ин­ тервала назначают величину доверительной вероятности е.

3.По заданной е и известному п из таблицы приложения 5 на­

верительного интервала. Величина t с вероятностью е не выйдет

за пределы г±а.

Покажем применение этой методики на примере, который ре­ шался в § 6 гл. III на основе данных, приведенных на стр. 41. Оп­ ределим с надежностью 0,9 доверительный интервал для средней длительности выполнения работы, значение которой было равно

4,9 ч.

няя или верхняя граница возможных или допустимых значений

Оценка точности среднеквадратичного отклонения а, вычислен­ ного по данным выборки, в принципе осуществляется таким же ме­ тодом. Так же вводится новая случайная величина

61