Файл: Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве.pdf

новского распределения является его зависимость лишь от одного параметра а — математического ожидания числа наступления со­ бытия за время t. В теории вероятностей доказывается, что ди­ сперсия случайной величины, распределенной по закону Пуас­

ется распределению Пуассона. Если на основе наблюдений установ­ лено, что среднее количество автомобилей, проходящих за 1 мин,

равно 5, то какова вероятность прохода 10 автомобилей в минуту? glO . 0—5

Из таблицы приложения 3 найдем, что р ю =— —— =0,018, т. е.

такая вероятность весьма мала.

Как видно из решенного примера, а также характера зависимо­ сти (III.24), пуассоновское распределение применимо к дискретным случайным величинам.

Бета-распределение. Бета-распределение характеризуется в от­ личие от нормального ограниченным интервалом, в пределах кото­ рого может находиться случайная величина. Так, в частности, ав­ торами первого варианта методов сетевого планирования (система PERT) 1 было принято, что длительность работы как случайная величина следует бета-распределению, причем общий интервал из­ менения длительности — от оптимистической t0 до пессимистиче­ ской ta оценок продолжительности работы, уточняемых на основе статистических данных (см. гл. XI).

Бета-распределение возникает в условиях, когда случайная ве­ личина (в нашем случае продолжительность выполнения работы) зависит от большого числа случайных малосущественных факторов при наличии нескольких существенных случайных факторов. Нор­ мальный закон распределения в этом смысле является частным случаем бета-распределения, когда упомянутые несколько сущест­ венных случайных факторов становятся каждый по себе также

1 PERT — Program Evolution and Review Technique (англ.) метод оценки и пересмотра планов.

48

малосущественными. При выполнении дорожных работ всегда можно отметить какие-то более существенные случайные факторы, влияющие на производительность, а следовательно, и на продол­ жительность выполнения работы. Так, например, работа бетоноот­ делочной машины при устройстве цементобетонного дорожного по­ крытия зависит от ряда случайных факторов, влияющих на темп работы. К числу таких факторов относятся: продолжительность доставки бетонной смеси на линию (зависит, в частности, от техни­ ческого состояния автомобилей-самосвалов), конкретный состав бетонной смеси, также имеющий отклонения от проектного при ра­ боте смесителя на ЦБЗ; погодные условия, техническое состояние бетоноотделочной машины в данной смене; физическое состояние членов бригады, обслуживающих машину; время, в которое будут доставлены топливо и смазочные материалы для заправки двига­ теля машины, и т. д. Однако такие факторы, как продолжитель­ ность доставки смеси на линию и техническая исправность бетоноотделочной машины, могут оказаться более существенными, неже­ ли остальные. Поэтому применение бета-распределения для харак­ теристики продолжительности дорожных работ следует в принципе считать достаточно обоснованным.

Рис. 13. График плотности бета-распределения

Tj и у — параметры формы; Г)=6 + 1; у = я+1

Функция плотности вероятности бета-распределения имеет вид, представленный на графике (рис. 13), и выражается при t0^ t ^ . t n, а > — 1; 6 > — 1 формулой

f = — fIII.25)

где с — величина постоянная при конкретных значениях t0, tn, а и б; а и б — параметры формы бета-распределения, определяющие фор­

му кривой/(/) (см. рис. 13).

49

Как уже отмечалось, площадь, ограниченная кривой плотности распределения, всегда равна 1. Тогда для определения параметоа с легко получить соотношение

f (t - t 0T ( t n - t ) bdt

h

Если интервал изменения переменной (от t0 до tn) принять за единицу масштаба, что всегда легко сделать, и ввести положитель­ ные параметры формы у и г), т. е. принять сс+1=у; 6 + 1=т), то вместо (II 1.25) будем иметь

при ограничениях (III.29).

Гамма-функция, входящая в (III.30), в свою очередь, пред­ ставляет собой следующий интеграл:

Г (У -И )= J e - 4 T+1,“ 1 d\.

о

50

Значения гамма-функции приводятся во многих математиче­ ских справочниках и, в частности, в работе [8].

Графики плотности бета-распределения при различных значе­ ниях параметров у и т] показаны на рис. 14. При у =,П бета-распре­ деление является симметричным и, в частности, при у = г]= 1 пе' реходит в равномерное распределение (см. рис. 14, а).

О0,2 0,4 0,д 0,8 t

Рис. 14. Формы кривых плотности бета-распределения при различных т] и у:

а _ П = у ; б - т ) > 1 ; у > 1 ; s — т ) < 1 ; Y < 1

Для рассматриваемых в книге вопросов наибольшее значение имеют случаи, отражаемые рис. 14, а и 14, б, когда у > 1 и т)>1. В этих условиях распределение является одновершинным, т. е. уни­

модальным (одна мода). Поэтому, если найти производную6^—*^, то

симум. При у>1,0 и т]>1 это дает следующее значение моды, ко­ торое мы обозначим индексом т (см. рис. 13):

т. е. мода соответствует центру интервала изменений случайной ве­ личины, что обязательно для симметричных распределений (см.

рис. 14, а).

Интегральная функция бета-распределения F(t) в соответствии с (III.8) должна быть записана следующим образом:

t

F {t) = Г (t) Г (1)) \J xT_1 (1 - - * г 1 d x ’ о < * < i ,°-

51