Файл: Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве.pdf

В математической статистике доказывается [32], что величина %о подчиняется следующему закону распределения:

где Г (U) — гамма-функция.

Затем доказывается, что вероятность е относительной ошибки среднеквадратичного отклонения, не превышающей заданной ве­

Функция L (р, п — 1) табулирована (см. приложение 6).

Продолжим решение того же примера и установим с надежностью 0,9 дове­

Следует иметь в виду возможность использования приближен­ ных формул для оценки доверительного интервала к статистиче­

С помощью распределения Стюдента может решаться и обрат­ ная задача — установление необходимого числа испытаний для по­

лучения величин t (статистического среднего) и ю (статистическо­ го среднеквадратичного отклонения) с заданной надежностью, т. е.

62

Поставим теперь вопрос так: каково должно быть число наблюдений, что­ бы при том же уровне надежности 0,9 доверительный интервал был равен 0,1ч? На основе соотношения (IV.15) запишем

2£. Г-И— =0,1.

У п — 1

Можно полагать, что число наблюдений должно быть в этом случае значи­

Таким образом, при л=700 значение длительности работы ожидается в пре­ делах от 4,9—0,05=4,85 ч до 4,9+0,05=4,95 ч. При этом надежность этого ин­ тервала колебаний значений статистического среднего t составит 0,9.

Имеются и другие методы определения необходимого числа ис­ пытаний п для получения результатов с требуемой надежностью. Один из них основывается на предварительном (из рекогносциро­ вочной серии опытов) определении «меры изменчивости» V как от-

Т а б л и ц а 13

мой величины.

ношения, установленного в эксперименте среднеквадратичного от­ клонения к статистическому среднему, т. е.

Затем по величине V и требуемой доверительной вероятности ре­ зультата е по табл. 11 устанавливается необходимое число опытов.

63

Рассмотрим пример реализации этой методики. При испытании в 28-суточном возрасте серии бетонных кубиков в дорожной лаборатории получены результаты, приведенные в табл. 12. Определить, какое количество кубиков должно быть из­ готовлено и испытано для получения показателя прочности бетона на сжатие с

3. Вычислим меру изменчивости

21,4

У= 2991О00/о=7-2°/о-

4.Из табл. 11 находим, что для получения Л вр с надежностью 0,95 нужно из­ готовить и испытать 14 кубиков.

Если, планируя эксперимент, мы не знаем меры изменчивости случайной величины, то количество необходимых опытов для суж­ дения об изучаемом явлении с необходимой надежностью резко возрастает. Это легко видеть из так называемой «таблицы доста­ точно больших чисел», где даются значения п при различных а и е (табл. 13). Поэтому всегда выгоднее провести серию предвари­

тельных опытов, с тем чтобы определить а или V и воспользовать­ ся для установления необходимого числа опытов распределением Стюдента или табл. 11. В обоих этих случаях приходится вести обработку экспериментальных данных. При этом удобна форма за­ писи, приводимая в табл. 14.

64

Г па р а

V

л и н е й н о е п р о г р а м м и р о в а н и е

ПРИМЕНИТЕЛЬНО К ЭКОНОМИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ ДОРОЖНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА

§ 10. Задачи, решаемые методом линейного программирования

Задачи линейного программирования являются разновидностью более широкого класса задач, называемых распределительными. Задачи распределения возникают в случаях, когда имеющихся ре­ сурсов недостаточно для выполнения каждой из работ с наиболь­ шим эффектом. При подобных обстоятельствах приходится забо­ титься о наилучшем использовании имеющихся ресурсов в целом. Рассмотрим в качестве примера приводимую ниже матрицу.

Величины Cij выражают стоимости перевозки 1 м3 материала из

карьера i на участок работ j (руб.); а, дают запасы материала в карьерах, a bj — потребности в материалах для производства до­ рожных работ (тыс. м3) .

Рассматривая матрицу по столбцам, легко заметить, что на участки работ 1 , 2 и 3 выгоднее всего было бы вывозить материал

из карьера 1. Однако потребность в материале для упомянутых

ла на эти участки придется вывозить из других карьеров при более высокой стоимости перевозок. Аналогично можно сделать вывод о целесообразности вывозки необходимых для четвертого участка материалов из карьера 3, а для пятого участка — из карьера 2 .

Таким образом, минимальная общая стоимость перевозки со­ ставила бы при Х ц = 4; Xi2 = 5; X i 3 = 7; х 34 = 9 и *25 = 9:

Подобный план перевозок был бы возможен при наличии сле­ дующих количеств материала в карьерах: ai=16; а^= 9 и а3 = 9. Однако наличие ресурсов в карьерах не соответствует этому ус­ ловию, и придется заботиться об отыскании решения, учитываю­ щего реальное наличие материалов в карьерах с возможной мини­ мальной стоимостью перевозок. Забегая вперед, отметим, что воз­ никающая при этом распределительная задача является транспорт­ ной задачей линейного программирования. В данном примере ее решение дается следующей матрицей:

Естественно, что общая стоимость перевозок будет больше вы­ численных выше 13 400 руб. и составит:

У,сих и = (0,4 -1 + 0 ,1 -5 + 0,2-4 + 0,3-3 + 0,7-9 +

+ 0,5 -3+ 0,4 -9) 103 = 14000 руб.

Для лучшего понимания математического смысла задач линей­ ного программирования рассмотрим следующую систему урав­ нений:

2xi + 3x2+ x3= 8 ; 1

Система (V.1) является неопределенной, так как для отыскания трех неизвестных имеется всего два уравнения. Такая система в принципе имеет бесчисленное множество решений. Метод решения подобных систем состоит в приведении их к определенным за счет введения дополнительных условий. Так, если принять, что одно из неизвестных в системе (V.1) может равняться нулю, то получаем следующие три решения системы:

66