Файл: Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве.pdf

В матрице (VI.18)— это первый элемент второй строки 3 — .

В соответствии с пояснениями к зависимостям (VI.2)— (VI.5) по­ лучим:

Верхний индекс в обозначении 5 3<s) введен для того, чтобы вы­ делить переменные искусственных ограничений Гомори. Составим матрицу (VI. 18) с дополнительным ограничением Гомори:

Теперь необходимо продолжить решение симплекс-методом до получения следующего оптимального решения. Однако тот путь, который использовался при получении матрицы (VI. 18), неприем­ лем, так как, за исключением первого элемента, в первой строке нет положительных коэффициентов. Это и понятно, так как матри­ ца (VI.18) давала оптимальное нецелочисленное решение. Поэтому отыскание ведущего элемента симплекс-таблицы ведется по так называемому двойственному симплекс-методу.

Выбирается ведущая строка с самым большим по абсолютному значению отрицательным первым членом. Ведущий элемент этой строки должен быть положительным. Если таких элементов не­ сколько, то вычисляются отношения элементов первой строки к со­ ответствующим положительным элементам ведущей строки. За ведущий элемент принимается тот, для которого указанное отноше­ ние является по абсолютной величине минимальным. В нашей за­

даче лишь в последней строке первый элемент отрицателен

поэтому она принимается за ведущую. В этой строке есть два по­ ложительных коэффициента.

105

ДОК I Вычисляя указанным выше порядком отношение ПО-

Я*'к I

лучим

Следовательно, ведущим элементом симплекс-таблицы (VI.20) является коэффициент последней строки, отмеченный звездочкой. Следует поэтому поменять местами переменные 5з(г-и у.

Найдем коэффициенты новой симплекс-таблицы. Из равенства

(VI. 19) следует

Последняя строка таблицы (VI.18) давала соотношение между переменными, которое должно и теперь оставаться справедливым, т. е.

Внося в равенство (VI.22) соотношение (VI.21), получим

или

! —0-6Г2— (VI.23)

Далее, внося уравнение (VI.21) в соотношение между величи­ нами, даваемое второй строкой матрицы (VI.18), получим:

106

Г л а в а

VI!

ТЕОРИЯ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

ИЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ К ОТЫСКАНИЮ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

ВОБЛАСТИ ДОРОЖНОГО СТРОИТЕЛЬСТВА

§14. В>чды систем массового обслуживания. Количественные

характеристики систем

Теория массового обслуживания (ТМО) является одним из наи­ более широко применяемых в настоящее время разделов исследо­ вания операций. Началом развития этой теории считают появление в 1909 г. работы датского ученого Эрланга «Теория вероятностей и телефонные разговоры». В дальнейшем значительный вклад в раз­ витие ТМО был внесен советскими академиками А. Н. Колмогоро­ вым, А. Я. Хинчиным, Б. В. Гнеденко и рядом зарубежных ученых. В ТМО сам термин «обслуживание» понимается как удовлетворе­ ние какой-либо потребности. Запрос на удовлетворение этой потреб­ ности именуют требованием или заявкой на обслуживание. Необ­ ходимо отметить, что эти два термина — обслуживание и требова­ ние— понимаются в весьма широком смысле. Для иллюстрации этого положения рассмотрим ряд примеров из области дорожного строительства.

материалов (конструкций) можно считать требованием (заявкой) на обслужи­ вание. Погрузка этих материалов в данное транспортное средство (автомобиль бортовой, самосвал, думпер и т. п.) соответствующей машиной (экскаватором, краном, погрузчиком и т. п.) будет представлять собой акт обслуживания. Сама же такая машина являет собой «прибор обслуживания».

Ниже будут рассмотрены задачи оптимизации погрузочно-транспортных ра­ бот методами ТМО.

П р и м е р 2. Дорожные машины, направляемые эпизодически в ремонт, с позиций ТМО создают общий поток заявок на обслуживание. В ремонтных ма­ стерских эти машины будут распределяться по различным технологическим ли­ ниям в зависимости от характера требуемого ремонта (двигателя, ходовой части, кузова и т. п .). Поэтому общий поток заявок на ремонт распадается на несколько частных потоков, каждый из которых будет обслуживаться соответствующими ремонтными средствами (оборудованием), выполняющими роль приборов обслу­ живания. Очевидно, что данная система обслуживания может быть значительно более сложной, чем в примере 1, однако ее оптимизация основывается на методах ТМО.

П р и м е р 3. С позиций ТМО пересечение автомобильных дорог друг с дру­ гом и с железными дорогами в одном уровне рассматривается как прибор обслу­ живания, а подходящий к нему с четырех сторон транспорт создает поток зая­ вок на обслуживание. Непосредственно под обслуживанием в данном случае по­

108

нимается прохождение автомобилем зоны пересечения. Ниже будет показано, как методами ТМО можно обоснованно решать вопрос о целесообразности пере­ хода от пересечения дорог в одном уровне к пересечению в разных уровнях.

П р и м е р 4. На автомобильной дороге в процессе ее эксплуатации могут эпизодически появляться участки, требующие ремонта (особенно весной), или, иначе говоря, создающие поток заявок на обслуживание. Устранение поврежде­ ний земляного полотна, дорожной одежды или искусственных сооружений может рассматриваться как процесс обслуживания, а бригада, ведущая работы, — как прибор обслуживания. Если в результате систематических многолетних наблю­ дений установлены средние показатели по количеству участков дороги, которые за определенный срок выходят из строя и требуют ремонта, то методами ТМО может быть найдено оптимальное решение в отношении необходимой производ­ ственной мощности дорожно-ремонтных подразделений.

Даже этот ограниченный перечень примеров из области проек­ тирования, строительства и эксплуатации автомобильных дорог показывает широкую применимость ТМО для отыскания оптималь­ ных решений в области дорожного строительства.

Рассмотрим теперь разновидности систем массового обслужива­ ния (МО). Прежде всего различают замкнутые и разомкнутые системы МО. В первых циркулирует конечное и обычно постоянное число объектов, периодически требующих обслуживания. В каче­ стве типичного примера замкнутой системы МО можно привести следующее звено машин: экскаватор, к которому прикреплено определенное число п автомобилей-самосвалов, периодически при­ бывающих в карьер для погрузки материала. Момент времени, ког­ да автомобиль-самосвал прибыл для очередной погрузки, стохасти­ чески зависит в такой системе от предшествующих погрузок, их длительности и ожидания в очереди перед погрузками. Таким образом, поступающий на погрузку экскаватором поток автомоби­ лей-самосвалов оказывается зависящим от выходящего потока погруженных машин.

В разомкнутых системах МО такой зависимости входящего по­ тока от выходящего нет, или, иначе говоря, входящий поток пита­ ется источником с неограниченно большим в математическом смыс­ ле числом клиентов (объектов), требующих обслуживания. Следо­ вательно, при достаточно большом п замкнутая система МО может также превратиться в разомкнутую, во всяком случае по количест­ венным показателям их анализа. Это положение будет проиллюст­ рировано ввиду его практической значимости,.так как расчеты для разомкнутых систем МО значительно проще, чем для замкнутых, и потому нужно уметь обоснованно отделить их.

Как замкнутые, так и разомкнутые системы МО могут иметь не­ сколько разновидностей:

системы с ожиданием и системы с потерей требований. В систе­ мах с ожиданием очередное требование, найдя занятыми все прибо­ ры обслуживания, остается в очереди на обслуживание. В системах с потерями в такой ситуации требование покидает систему. Приме­ нительно к задачам дорожного строительства наиболее важны си­ стемы МО с ожиданием;

системы с приоритетом и системы без такового. При этом раз­ личают абсолютный и относительный приоритеты. В системах с аб­

109