Файл: Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве.pdf

солютным приоритетом требование, пользующееся им, немедленно попадает на обслуживание, причем если в приборе обслуживания находилось в этот момент требование, не пользующееся приорите­ том, то его обслуживание прекращается. В системах с относитель­ ным приоритетом вначале заканчивается обслуживание требования, находящегося в приборе обслуживания, после чего немедленно на­ чинается обслуживание требования, пользующегося приоритетом. Для задач дорожного строительства более характерны системы МО без приоритета, а также с относительным приоритетом. В качестве примера можно указать на пересечение автомобильной дороги с железной в одном уровне, где поток поездов пользуется приорите­ том перед потоком автомобилей. В системах ремонта дорожные ма­ шины высокой производительности или лимитирующие ход работ будут пользоваться приоритетом в очередности ремонта, причем в ряде случаев абсолютным;

системы с одним и системы с несколькими источниками заявок на обслуживание. В качестве примера последней можно указать на карьер (базу), обслуживающую несколько участков работ, что весь­ ма типично для дорожного строительства;

системы с одним и системы с несколькими приборами обслужи­ вания. Как те, так и другие характерны для условий дорожного строительства. Так, например, если в забое карьера работают па­ раллельно п экскаваторов, то мы имеем систему с п приборами обслуживания, причем водители прибывающих на погрузку автомо­ билей-самосвалов сами решают вопрос о том, под какой экскаватор поставить автомобиль с учетом конкретной рабочей ситуации ь карьере;

системы с одноразовым и системы с многоразовым последова­ тельным обслуживанием'. Применительно к задачам дорожного строительства более характерны первые. С системами многоразо­ вого обслуживания можно встретиться при оптимизации работы ремонтных мастерских и заводов, где ремонт агрегата (детали) тре­ бует ряда последовательных операций, каждая из которых выпол­ няется на соответствующем рабочем месте (приборе обслужива­ ния) .

Из этого многообразия систем МО для дорожного строитель­ ства наиболее характерны следующие: разомкнутая и замкнутая системы с ожиданием и одним прибором обслуживания без приори­ тета требований; разомкнутая система с ожиданием, одним прибо­ ром обслуживания и относительным приоритетом определенной группы требований; разомкнутая система с ожиданием и несколь­ кими приборами обслуживания.

§ 15. Количественные характеристики систем массового обслуживания с ожиданием

Основными количественными характеристиками систем МО яв­ ляются: число требований (объектов обслуживания), находящихся в очереди У; время ожидания в очереди до начала обслуживания

110

На основе логических соображений можно сразу записать не­ сколько важных соотношений:

где ts — среднее время пребывания требования в системе.

т. е. среднее количество требований, находящихся в очереди, равно математическому ожиданию числа требований в системе за вычетом математического ожидания количества требований, находящихся fe обслуживании, что ясно без каких-либо специальных доказательств.

Это соотношение не столь очевидно, как предыдущее, но может быть пояснено на следующем примере. Допустим, что на погрузку в карьер прибывает в час в среднем 20 автомобилей-самосвалов (^ = 20). При этом установлено, что величина У =2, т. е. в среднем в течение всего часа находятся в очереди два автомобиля и на прос­ той в очереди будет потеряно 2 маш.-ч. Но так как эта потеря яв­ ляется суммарной и относится ко всем 20 автомобилям-самосвалам, прибывающим в течение часа в карьер, то средняя потеря времени

дует из зависимости (VII.6).

Из соотношений (VII.2) — (VII.6) видно, что основной задачей яв­ ляется получение формулы для установления величины рп. Тогда могут быть последовательно вычислены количественные характери­ стики т, У, tf и Та, полностью определяющие работу системы МО.

Определение рп в общем случае является сложной задачей. Наиболее просто она решается в тех случаях, когда поток заявок на обслуживание является так называемым простейшим потоком, т. е. удовлетворяет условиям стационарности, отсутствия последей­ ствия и ординарности. Рассмотрим смысл этих особенностей прос­ тейшего потока.

С т а ц и о н а р н о с т ь потока, или, иначе, его однородность во времени, означает независимость величины рп от начала отсчета

112

времени т и, наоборот, ее зависимость лишь от величины интервала времени т, для которого определяется рп. В реальных производ­ ственных условиях в пределах всей рабочей смены поток заявок на обслуживание часто может не удовлетворять условию стацио­ нарности. Так, например, применительно к транспортным работам в начале смены будет иметь место период формирования потока, когда pn = f(x). В конце смены при разновременном окончании ра­ бот автомобилями-самосвалами мы также будем иметь pn=F(x). Если, кроме того, в течение смены меняется по каким-либо произ­ водственным причинам количество обслуживаемых объектов (на­ пример, снимается с работы часть автомобилей), то при этом опять будет нарушаться условие стационарности. Эти обстоятельства по­ требуют разбивки смены на несколько частей, для которых поток заявок может считаться стационарным, или моделирования процес­ са в переходном режиме методом Монте-Карло (см. гл. IX).

О т с у т с т в и е п о с л е д е й с т в и я характеризует такой слу­ чайный (стохастический) процесс, для которого будущее развитие зависит только от достигнутого в данный момент состояния и не за­ висит от того, как происходило развитие в прошлом. Иначе говоря, количество требований на обслуживание, появляющихся за время т, не зависит от того, какое их количество имело место в предше­ ствующий отрезок времени.

О р д и н а р н о с т ь потока означает, что вероятность поступле­ ния за малый промежуток времени более одного требования ( п ^ 2 ) на обслуживание пренебрежимо мала. Математически это выра­ жается зависимостью

Поток заявок на обслуживание, удовлетворяющий трем охарак­ теризованным выше условиям, называется пуассоновским и выра­ жается следующим распределением вероятностей, уже приводив­ шимся в гл. III

где рп (х) — вероятность поступления в систему за время т п заявок на обслуживание.

В том, что поток, описываемый выражением (VII.8), удовлетво­ ряет первым двум условиям простейшего потока, ясно из самой структуры зависимости (VII.8), не предусматривающей информа­ ции как по моменту отсчета времени, так и по предшествующему его интервалу. В ординарности потока также легко убедиться. В са­ мом деле

из