Файл: Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве.pdf

При решении конкретных задач методами ТМО необходима про­ верка гипотезы о том, что поток заявок на обслуживание является пуассоновским. Методика такой проверки была рассмотрена в гл. III.

§16. Метод получения расчетных зависимостей теории массового обслуживания

Для многих практически важных случаев соответствующие рас­ четные зависимости получены и приводятся в литературе по ТМО. Однако практика ставит новые задачи, для решения которых тре­ буется владение методом получения выражения для рп (х). Рас­ смотрим основы этого метода на простейших видах систем МО.

Функция рп (т) находится из решения системы дифференциаль­ ных уравнений вероятностей состояния системы. Обычно диффе­ ренциальные уравнения для процессов, развивающихся во вре­ мени, характеризуют закономерности изучаемого процесса при­ менительно к бесконечно малому промежутку времени dx. В после­ дующем на основе их решения удается выявить общие свойства процесса. Это полностью относится к системам МО. Для написа­ ния дифференциальных уравнений, описывающих изменения состо­ яния системы МО за бесконечно малый промежуток времени dx, необходимо предварительно установить два основных соотношения, а именно: для вероятности поступления в систему одной заявки на обслуживание за время dx, т. е. для величины p x(dx); для вероятно­ сти убыли из системы (вследствие завершения обслуживания) за время dx одного требования, т. е. для величины p - X(dx).

Аналогично, вероятность окончания обслуживания одного требо­ вания за время dx выразится

1 (dx) = pdx, (VII. 10)

где р — пропускная способность (номинальная производительность

1) 1 — Ых — вероятность того, что за время dx в систему МО не поступит требование;

2) 1 — p it — вероятность того, что за время dx систему не поки­ нет обслуженное требование.

114

Если в системе на момент времени т нет требований, то на мо­ мент времени x + dx возможны два состояния системы МО: •

1)Ро-^Ро, т. е. в систему не поступит требование на обслужива­

ние;

2)ро-э-рь т. е. в систему за время dx поступит одно требование. На основе (VII.9) и (VII. 10), используя теоремы сложения и

умножения вероятностей (см. гл. III), получим следующие соотно­ шения для вероятности указанных переходов системы из одного со­ стояния в другое:

Если на момент времени т в системе было п требований, то воз­ можны ее переходы в следующие три состояния:

Р п * Рл> Р п * Р п + 1’ Р п * Р п — 1-

По аналогии с предыдущим можно получить следующие зависи­ мости:

Рп~* р„= (1 —Ых){ \ ■—y.dx)A-'kdx-\xdx.

Первое произведение в правой части дает вероятность того, что за время d\t в систему не поступит и из системы не убудет требо­ вание. Второе — вероятность того, что в систему за время dx посту­ пит одно требование и систему покинет одно обслуженное требо­ вание. Других вариантов сохранения в системе п требований, оче­ видно, быть не может.

Опуская бесконечно малые величины второго порядка, получим:

р„ — Рл^ 1 — (X-fix)rft. (VII. 13)

На основе подобных же рассуждений можно получить:

матрицу вероятностей перехода системы МО за время dx в возмож­ ные состояния:

p{x-\-dx)

Состояние системы на момент t + d z

115

Рассматривая матрицу, можно заметить, что, кроме первой, все строки матрицы в записи идентичны. То же можно сказать и о столбцах. Тогда можно записать следующую систему дифферен­ циальных уравнений:

dx

Таким образом,

Чтобы получить выражение для функции рп(х), необходимо ре­ шать эту систему дифференциальных уравнений, что является до­ статочно сложной задачей. Для простейшего потока рп не зави­ сит от времени т (установившийся режим в работе системы МО).

116

Так как — = <р, то будем иметь: н-

J Ро^= Рх или Р! = Р0%

Соотношение (VII. 19) можно было бы записать и из чисто логи­ ческих, или, как часто говорят, эвристических соображений. В са­ мом деле, как отмечалось в главе выше, величина а]з представляет собой математическое ожидание требований, находящихся в систе­ ме, или, что то же самое, показывает, какую часть своего времени прибор занят. Тогда 1—^ соответствует той части времени, когда прибор свободен, что и дает вероятность ро.

Внося (VII.19) в (VII.16), получим

Определим теперь в соответствии с зависимостью (VII.2) мате­ матическое ожидание числа требований в системе in:

Последняя сумма также представляет собой прогрессию и рав­

на ------— . Тогда (1—Ф)2

117

На основе (VI 1.5) получим

Если время обслуживания постоянно, т. е. если каждое обслу­

живание продолжается точно в течение времени — , то по теории

массового обслуживания среднее время ожидания в очереди tj бу­ дет в 2 раза меньше, чем при распределении времени обслуживания по экспоненциальному закону, т. е.

2 •(1 — ф)

_ Кроме того, среднее число требований в системе т и в очереди F определяются в этом случае по формулам:

§17. Разомкнутые системы массового обслуживания с одним

инесколькими приборами

Рассмотрим одну задачу, решение которой можно будет полу­ чить с помощью зависимостей (VII. 19) и (VII.22).

Требуется получить формулу для определения оптимального числа транспортных средств, прикрепляемых к средствам погрузки, если известны стоимости машино-смен, производственно-техниче­ ские характеристики и условия перевозок (расстояние перевозки, средняя скорость движения транспортных средств).

В качестве критерия оптимальности примем минимум суммар­ ных потерь (в стоимостном выражении) от простоя транспортных средств и средств погрузки. Будем рассматривать разомкнутую СМО с ожиданием, с одним прибором обслуживания, без приори­ тета требований, для которой и справедливы формулы (V.19) и

118