Файл: Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве.pdf

ся справедливым в случаях, когда результат (исход) процесса за­ висит от большого числа независимых случайных факторов, каж­ дый из которых в отдельности влияет на результат незначительно. В качестве примеров можно указать на такие случайные процессы, подчиняющиеся закону нормального распределения (закону Гаус­ са): расстояние (зазор) между встречными автомобилями в мо­ мент их разъезда; длительность некоторых видов дорожно-строи­ тельных работ; высота неровностей на покрытии, обусловленных процессами зимнего пучения грунта земляного полотна.

На рис. 10 представлен график нормального закона распреде­ ления, характеризующегося плотностью вероятности

_ (t-Tц

та кривой плотности распределения соответствует значению слу­ чайной величины, характеризующейся м а к с и м а л ь н о й п л о т ­ н о с т ь ю в е р о я т н о с т и . Это значение случайной величины носит название м о д а . Так как упомянутая ордината обратно про­ порциональна среднеквадратичному отклонению о, а общая пло­ щадь под кривой равна единице, то параметр а характеризует форму кривой. При больших значениях а кривая растянута вдоль оси абсцисс, при малых о сжата и распространена вверх.

Рис. 10. График плотности нормального распределения f ( l ):

а — для вида, соответствующего формуле (III.17); б — для вида, соот­ ветствующего формуле (111.18)

Удобнее пользоваться зависимостью (III.17), когда математи­ ческое ожидание I принято за нуль отсчета значений случайной величины t, а за единицу масштаба взята дисперсия а2.

Для 1 = 0 и о2= 1 получим

и график рис. 10, б.

43

Функция распределения f(t) для закона Гаусса представляет

собой в соответствии с (III.8)

t

F ( t ) = j f { \ ) d \

— СО

или при внесении в это равенство выражения (III.18)

t

то график будет давать так называемые нормированные отклоне­ ния для нормально распределенной случайной величины.

В приложении 1 даны значения F(t), вычисленные на основе зависимости (III.19). Так как F(t) есть интегральная функция, то при каждом конкретном значении t эта функция ' показывает ве­ роятность отклонений от математического ожидания, меньших t. Так, например, для t = 0

Это означает, что интегральная вероятность отрицательных от­

Определим вероятность попадания случайной величины, подчи­

a YГ

44

Известно выражение для интеграла Лапласа:

Таблица функции Лапласа приведена в приложении 2. В мате­

Тогда, в результате преобразований, аналогичных изложенным, формула (II 1.20) принимает более удобный для вычислений вид:

В табл. 6 приведены значения функции Лапласа, соответствую­ щие (III.21). Определим с помощью формулы (III.22) вероятность попадания случайной величины t на участок, ограниченный слева значением — За и справа +3а.

Т а б л и ц а 6

Принимая для заданных условий вследствие симметричности графика f(t) I —0, будем иметь

=—Ф (3). Тогда получаем

р(■- За < Т < + За) = - L 2Ф (3) = Ф (3) = 0,997.

45

Таким образом, с вероятностью, близкой к единице, нормально распределенная случайная величина не выходит за пределы диа­ пазона ±3а.

Это знаменитое правило «трех сигм» широко используется в количественном анализе случайных процессов, подчиненных зако­ ну нормального распределения при недостаточных статистических данных изучения процесса. Покажем это на следующем примере.

Из наблюдений за устройством гравийного покрытия методом смешения на дороге с вяжущим автогрейдерами было установлено, что выполнение работ на захватке протяжением 0,5 км колебалось в пределах 6—9 ч. Определить, какова вероятность завершения работ на указанной захватке за семичасовую смену.

На основе правила «трех сигм» найдем ориентировочную величину средне­ квадратичного отклонения:

Примем, что математическое .ожидание длительности отработки захватки

По формуле (III.22) определим искомую вероятность:

По табл. 6 найдем соответствующие значения функции Лапласа и вычислим

Продолжим решение примера и определим, за какое время будет отработана захватка с вероятностью не менее 0,9.

Выше уже отмечалось, что вероятность уложиться во время, соответствующее математическому ожиданию, составляет 0,5. Следовательно, искомое время за­

Рассмотрим еще один пример применения формулы (III.22). Предположим, что длительность выполнения работы, характеризуемая данными наблюдений’ приведенными на стр. 41, подчинена закону нормального распределения. Требует­ ся наити вероятность выполнения работы за время в пределах от 4,5 до 5,5 ч.

46

Используя вычисленные ранее величины i = 0,49 ч и 0 —0,81 ч, с помощью формулы (III.22) найдем:

Мы получили результат, точно согласующийся с данными наблюдений, при­ веденными на стр. 41. Конечно, это не доказывает принятого в примере предпо­

квадратных скобках, так как каждое из них дает вероятность попадания случай­ ной величины i на участки соответственно от 4,5 ч до 4,9 ч и от 4,9 ч до 5,5 ч. Тогда получаем

Закон Пуассона. Многие случайные процессы характеризуются распределением, носящим название закона Пуассона. Это распре­ деление выражается зависимостью

На рис. 12 показано распределение Пуассона для различных средних значений а числа наступления событий за время t. Из гра­ фика видно, что при больших а пуассоновское распределение по своему характеру близко к нормальному.

Закон Пуассона играет важнейшую роль в теории массового об­ служивания и потому будет в дальнейшем (см. гл. VII) рассмот­ рен более подробно. Здесь же отметим, что особенностью пуассо­

47