Файл: Золотарь, И. А. Экономико-математические методы в дорожном строительстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 130
Скачиваний: 0
Величины ft означают соответствующие частоты, т. е. количество случаев прохода Ni автомобилей в единицу времени, допустим, за одну минуту. Такая форма записи носит название ряда распределе ния и представляет собой простейшую форму задания закона рас пределения /(iV), характеризующего
связь между возможными значе- ft , ниями случайной величины и соот
ветствующими |
им |
вероятностями. |
|
||
Для наглядности ряд распределения |
|
||||
может быть изображен графически |
|
||||
(рис. 7). Как ясно из ряда распре |
|
||||
деления, |
всего |
было |
проведено 1 0 0 |
|
|
наблюдений в одноминутных интер |
Рис. 7. Ряд распределения |
||||
валах времени. |
|
|
|
||
Частоты fi |
могут быть выражены в долях единицы (р*) по соот- |
||||
ношению |
= |
1 |
|
|
я |
^ |
h- Тогда очевидно, что2 Р* = 1, т. е. сумма вероят |
||||
|
|
|
|
|
но |
ностей всех возможных значений случайной величины равна едини це, как для полной Труппы несовместных событий.
Непрерывная случайная величина, например длительность вы полнения какой-либо работы, имеет в определенном для нее проме жутке бесчисленное множество значений и потому не может харак теризоваться рядом распределения. Такие случайные величины удоб но характеризовать функцией распределения F(t) по соотношению:
F{t) = p { T < t ) , |
(Ш.5) |
где p { T < t) — вероятность того, что случайная величина |
Т меньше |
текущего ее значения t. |
|
Функцию распределения часто называют интегральной функцией распределения, так как по мере увеличения значения текущей пере менной t она дает интегрально нарастающую вероятность значений
T < t (рис. 8 ).
Необходимо указать следующие три свойства функции распределе ния F (t):
1 . F(t) есть неубывающая функ
ция |
своего аргумента, т. е. при |
t2> t\ |
F(t2) > F { t l). |
2. |
На минус бесконечности функ |
ция распределения равна нулю, т. е. F( —оо) =0 . В случаях когда слу чайная величина может принимать только положительные значения, на пример если она характеризует дли тельность t выполнения какой-либо работы, А'(О) =0.
3. На плюс бесконечности функция распределения равна едини це, т. е. F ( -J-оо) = 1, Это очевидно, так как F( + oo) характеризует суммарную, интегральную вероятность всех возможных значений случайной величины от — оо (или от 0 ) до +оо.
39
При решении практических задач необходимо уметь определять вероятность попадания случайной величины на любой интересую щий нас участок, например от а до р.
Нетрудно уяснить из самого смысла функции распределения (см. рис. 8 ), что эта вероятность выразится соотношением
p ( a < T < V ) = F $ ) - F ( a ) , |
(Ш.6) |
т. е. вероятность попадания случайной величины на заданный участок равна приращению функции распределения на этом участ
ке.
Важную роль в теории вероятностей играет плотность распреде ления — производная от функции распределения:
lim |
F V + &t)-F(tl = F ' {i) = / щ ш |
(Ш.7) |
д<^0 |
At |
|
Очевидно и обратное соотношение |
|
|
|
t |
|
|
j f{\)d% = F{t). |
(Ш.8) |
|
— oo |
|
Если же случайная величина может принимать только положи тельные значения, то зависимость (III.8 ) должна быть записана в
виде:
t |
|
j / (Юd\ — F{t). |
(Ш.9) |
о |
|
Если выразить вероятность попадания случайной величины на интересующий нас участок от а до (5 через плотность распределе ния, то получим
(а < Г < Р) — j' / W dt. |
(ШЛО) |
а |
+ оо |
|
Очевидно, что р (—о о < Г < + оо ) = 1. Следовательно, J f{t )dt = 1.
— 00
Этот интеграл выражает площадь, ограниченную кривой плотности распределения и осью значений случайной величины. Таким обра зом, эта площадь всегда равна единице.
Знания функции распределения F(t) или плотности распреде ления f(t) недостаточно для количественного анализа процесса, но сящего вероятностный, или, как говорят, стохастический характер. Необходимо располагать еще некоторыми количественными харак теристиками случайной величины. Важнейшими из них являются математическое ожидание случайной величины или ее среднее значение I и дисперсия о2.
Математическое ожидание для дискретных случайных величин
вычисляется из зависимости |
|
7 = 2 |
(III. 1П |
i=1 |
|
40
Таким образом, математическое ожидание случайной величины представляет собой сумму произведений возможных значений слу чайной величины на вероятности этих значений. Покажем вычисле ние среднего значения случайной величины на примере. Ниже при ведены данные наблюдений за длительностью (в часах) выполнения определенной дорожной работы на захватке, округленные до целого числа:
4 = 2 |
4 = 3 |
4 = 4 |
4 = 5 |
4 = 6 |
к = 7 |
/ , = 0,00 |
/^2= 0,04 |
/ з= 0,26 |
/ 4= 0,46 |
/ 5= 0,24 |
/ 6= 0,00 |
Число разрядов наблюдений к в данном случае равно шести. Вычисляя f, будем иметь:
7 = 2 -0 ,0 0 + 3 -0 ,0 4 + 4 -0 ,2 6 + 5 -0,46+ 6 -0,24 + 7 -0,0 0 = 4 ,9 ч.
Дисперсия о2 случайной величины характеризует ее рассеивание
относительно математического ожидания и вычисляется по формуле
^ = 2 ( t i - t f p i . |
(HI. 12) |
i=i |
|
Сопоставляя (III.12) и (III.11), можно определить дисперсию как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величи ны от ее математического ожидания.
Вычислим для данных рассмотренного примера величину ди сперсии.
~о2 = ( 2 —4 ,9 )2 .о,00 + (3 —4,9)2- 0 ,0 4 + (4 - 4 ,9+ 0,26 +
+ (5 - 4,9)2 • 0,46 + |
( 6 - 4,9)2 • 0,24 + (7 - 4 |
, 9 )2 • 0,00 = 0,651 ч2. |
Корень из дисперсии носит название среднеквадратичного откло |
||
нения о, т. е. 0 = ]Л?. |
В нашем примере 0 = |
]/0,651 =0,81 ч. Удоб |
ство использования среднеквадратичного отклонения объясняется
тем, что размерности I и о одинаковы. |
(III.11) и |
||
Для |
непрерывных случайных |
величин формулы |
|
(III.12) |
принимают вид: |
|
|
|
+ 00 |
|
|
|
—оо |
|
(III.13) |
|
|
|
|
|
+со |
|
(III. 14) |
|
= j 0 |
. |
|
Таким образом, знания закона распределения (функции распре деления или плотности распределения), математического ожидания и дисперсии достаточно для количественного анализа случайных процессов. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся в практиче ских задачах законы распределения.
41
§ 7. Законы распределения случайных величин
Закон равномерной плотности. Этот закон характеризует слу чайные величины, все значения которых в пределах интервала их изменения равновероятны (рис. 9). В качестве примера равномер
но распределенной случайной величины |
можно привести время |
|||
|
ожидания автобуса на остановке. Это |
|||
|
время распределено с равномерной плот |
|||
|
ностью на участке, соответствующем ин |
|||
|
тервалу между |
смежными |
прибытиями |
|
|
автобусов на остановку. Так как площадь |
|||
_ |
под кривой распределения (см. рис. 91 |
|||
равна единице, то в пределах интервала |
||||
ь |
от а до Р f(t) |
=const = c, т. е. |
1 = (р —а) с, |
|
Рис. 9. График плотности |
откуда |
|
|
|
равномерного распределения |
г |
|
1___ |
fill 15) |
№ |
|
|
p- а ' |
' |
Очевидно, что при t < a |
и t > $ f ( t ) = 0 |
(см. рис. 9). |
|
|
Математическое ожидание равномерно распределенной случай
ной величины равна t = |
а |
-. Этот результат легко получить и из |
|||||
формулы (III. 13). В самом деле, |
|
|
|
|
|||
J ± |
dt- |
|
JL |
|
.(р 2_аа)= |
||
J Р - а |
|
|
2 |
|
|
|
|
— гг • -Г------ (? — а)(Р + |
а)—— |
(Р + |
а)- |
|
|||
£ |
р |
(X |
|
£ |
|
|
|
По формуле (III.14) |
найдем дисперсию а2: |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
■dt = |
|
t |
а -Ь р |
1 |
2(Р — а )з_ (3 — а)2 |
||||
|
|
3 (Р — а) |
8 |
_ |
12 |
||
3 (Р — а) |
|
|
|||||
Среднеквадратичное отклонение:
ф _ Р а (III. 16) 2 |/з
Легко уяснить, что вероятность попадания случайной величины на заданный участок а—b (см. рис. 9) выразится соотношением
р( а < Т < Ь ) = - ± = ^ .
Р— а
Закон нормального распределения. Очень большое число сто хастических процессов хорошо описывается законом нормального распределения. Этот закон согласно теореме Ляпунова оказывает
42