Файл: Ефимов, М. И. Элементы теории вероятностей в задачах (с решениями) рекомендовано Мин.образования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.10.2024
Просмотров: 155
Скачиваний: 0
i § l
- |
0,S |
- |
ф |
|
( |
|
|
) = |
0, 5 + tp ( o' |
03 « 5 ) - |
|||
* |
o ,i |
+ |
o, o n |
|
- |
o; s «^ |
|
|
|
||||
Далее наколим |
среднее значение числа сбитых истребителей |
||||||||||||
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М У = ^ |
|
М У к |
= 60 |
0,9 = 54 . |
|||||||
По условию |
задачи |
надо |
найти величину |
& |
из неравенства |
||||||||
|
|
Р ( | У - |
S4 | |
< С ) |
= |
0,95 |
|
|
|||||
Для атого |
|
используем предельную теорему |
в Форме |
||||||||||
|
|
р ( I Х-па | < 6 ) - a < p ( g $ * . ) |
|
||||||||||
В нашем случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
€ |
я |
1,96 |
0,6*4 |
|/бсГ = д , 4 |
7 . |
|
|||||
Таким образом |
У |
|
имеем |
неравенство |
|
||||||||
|
|
|
|
I |
У - |
54 | |
< |
9,4 т |
|
|
|
||
Отсюда |
У |
|
> |
44 |
|
с вероятностью 0,95. |
|
||||||
§ 22. |
Неравенство |
Чебышева |
|
|
|
||||||||
22.362, Пусть |
|
* |
|
- скорость ветра.Цужпо оценить вероятность |
|||||||||
неравенства |
|
Д < |
120.Согласно неравенству Чебышева |
||||||||||
р (д < Л ) > 1 - #-х~
о
& S 3
В данном случае |
МЛ |
=. зо, |
= |
120.Поэтому |
|||
p ( x < u o ) > 1 |
|
|
| . |
|
|||
Таким образом,искомая вероятность не менее 3/4 . |
|||||||
22.363. Имеем неравенство Чебшева |
|
||||||
p ( X < J L ) > l ^ M . |
|
|
|||||
В данной |
задаче |
MX |
=.-50, |
eL |
- 27fj.Поэтому |
||
|
|
О |
|
|
|
|
|
Р ( X < а ? о ) > i ~ |
|
|
“ I - ° И * 8 = e , * i * - |
||||
22.364. Имеем неравенство Чебышева |
|
||||||
■' р ( |
х , * ) |
* |
|
|
|
|
|
В данном случае |
МЛ |
= 4° |
f |
t L ~ |
12°.Поэтому |
||
р ( л * и “) 4 £ |
- i |
- |
|
||||
Искомая вероятность |
не менее 1/3* |
|
|||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
22.3fj5. Пусть |
X |
- |
скорость |
ветра.Согласно неравенству |
|||
Чебышева |
|
|
|
|
|
|
|
о |
р ( * < * > * > * - ■ ¥ |
|
|
||||
? данной |
задаче |
|
|
=8 0 , Их = 20.Поэтому |
|||
о р( х |
<10)>1— || » |
. о |
|||||
Таким образом |
о |
|
|
|
|
|
|
р ( л * » ° ) > |
|
|
|
|
2Ь э |
|
|
|
22.366. |
Пусть |
X |
- |
расход вода.Вероятность неравенства |
|||
X < |
40000 оцениваем |
с помощью неравенства Чебышева |
|||||
|
Р (X « 4 0 0 0 0 ) > I - |
1 0 00 0 |
|
5 |
|||
|
4 о о о о |
|
4 |
||||
Искомая вероятность - не менее 0,75. |
|
|
|||||
22.367. |
Пусть |
X |
- |
количество осадков .Вероятность неравен |
|||
ства |
X < |
150 оцениваем,используя неравенство Чебышева |
|||||
|
р (X < i s o ) < -I — |
« 1 -- S S . £ . |
|||||
|
г 4 |
' |
1 |
150 |
1 |
180 |
а |
Искомая вероятность - не менее , 2/3.
22.368. По неравенству Чебышева оценим вероятность р ( X< 150}
р ( х < iso) > i - |
М . |
L — |
~ |
o,S53 . |
|||
Г V |
/ |
■* |
160 |
1Б0 |
' |
||
Искомая вероятность - не менее 0,533. |
|
||||||
22.369. |
Используем неравенство Чебышева в форме |
||||||
|
р ( I х-qI < ё)>1 |
е |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
В данном случае |
& |
= |
0, |
Д ( х ) = |
б 1 = |
25 , 6 = 2 0 |
|
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р ( | Х | |
<20) |
> 1 |
- |
* |
o,S 5 |
, |
Искомая вероятность - не менее 0,93.
|
|
|
|
254 |
|
22,370. |
Пусть |
X |
|
_ ошибка курса. Исиольнуем неравенство |
|
|
р ( | Х - о | < £ ) > I |
й(Ю |
|||
|
|
||||
В данном случае |
а |
- |
0 (систематическая ошибка отсутствует) |
||
Л.(х)= |
б г = 4, |
£, |
= |
5. Поэтому |
|
|
|
ч О |
I' |
||
|
р( | Х| <5 ) >1 - ~ |
- о , м |
|||
Искомая'вероятность - не менее 0,84. |
|||||
22.371. Пусть |
К |
-.скорость |
ветра.Применим неравенство |
||
Чебышева |
|
|
|
|
|
В данном случае,по условию
р ( | Х - а | < £ ) > 0, 7
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
4- |
* |
о,ь |
■ |
6 |
1 * |
I . 1 |
JL |
|
|
|
t l |
|
' |
' |
0,5 |
о,ь |
|
|
||
Неравенство |
|
|X - а | |
< 6 |
|
равносильно |
неравенству |
|
|||
a - £ < X < |
«I + £, |
млн |
при |
a = 2S t |
g |
: |
||||
|
|
|
|
< 5 , 3 < X < 3 4 , 7 . |
|
|
||||
22.372. |
Пусть |
X |
- ошиб'-vi намерения скорости, Согласно не |
|||||||
равенству Чебышева в форме |
|
|
|
|
|
|||||
р ( | Х - а | < £ ) > Г - ^
i ss
имеем
p ( M < 1 5 ) > 1 |
. 0,9 |
Отсюда
13^ - 0,1 , |
О = 22,5 , |
<S = 4 , 7 4 км/час |
§ 83. |
Теорема Чебымева.Неряпенство Керпулли |
|
|||||||
83.373. |
Имеем неравенство |
|
|
|
|
|
|
||
р ( | * I * xt |
“ " *• *п |
a t н~ о , |
■ |
- а ° | < е ) |
|||||
ч |
|
п ~ “ |
|
|
|
л |
|||
Согласно условию задачи |
Л |
= |
юоп |
f £ |
~ о |
3 |
|||
Поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
, |
+ Хл |
а , + |
+ |
а . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
0 ,0 9 |
1000 |
Искомая вероятность - не менее 0,956. |
|
|
|
||||||
23.374. |
Имеем неравенство |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
еЧ |
|
По условию задачи К, |
= 5, |
6 |
= |
0 ,4 , |
1 |
- |
у |
||
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
£ |
п |
Ш |
< 0 '1s |
П > |
0,1« • 0,15 |
S08 |
|
|
|||
|
|
|
|
||||||
0,456
о
0 ,Г5 .
Окончательно: П > 208