Файл: Трофимов, А. М. Основы аналитической теории развития склонов (на примере осыпных и делювиальных).pdf

графически в полулогарифмическом масштабе в врде прямых линий с различиями в угловом коэффициенте (гр. 6). На гра­ фике 6 по оси х отложены значения горизонтального проложения профиля склона (х), а по оси у — логарифмы уклонов; однако, в отличие от графика 5, они даны в значениях тан­ генса угла. Точки профиля каждого склона имеют довольно высокий коэффициент корреляции (от 0,997 до 0,780), позво­ ляющий судить о том, что они близки к прямой, выражаю­ щей обратную линейную регрессию и уравнение которой для каждого профиля приведено на графике. В соответствии с уравнениями (1.1.2 —1; 1.1.2—2а, б) общее уравнение для всех нанесенных на графике 6 прямых может быть записано

Проведем с уравнением (1.1.3—1) две операции:

— во-первых, заменим А0 через значение высоты склона следующим образом. Так как In Л0 = ln tg а0 можно выразить

tga0 через среднее значение уклона склона, введя коэффициент

ln А0 — In ТіА;

— во-вторых, для того, чтобы все члены уравнения (1.1.3—1) были логарифмическими, умножим последний член уравнения на величину Іпе (полагая \ п е = \ ) . Итак,

ln tg а = ln у,А — ktx -ln e.

В соответствии с выводом уравнения (1.1.2—3), из (1.1.3—1) получим

Применяя уравнение (1.1.3—2), были обсчитаны ряд профилей, некоторые из которых показаны на графике 7. На отдельном графике 8 показана кривая зависимости а (А), снятая с про­ филей соответствующих склонов (показаны сплошной линией), а также другая кривая (пунктирная линия) той же зависи­ мости по уравнению (1.1.3—2). Для каждого из склонов на графике 8 даны значения kt \ 7,, а также частные уравнения, составленные на основании (1.1.3—2). Все перечисленные профили крутых склонов характеризуются следующими зна­ чениями параметров уравнения (1.1.3—2) (см. таблицу 3).

Судя по графику 8, уравнение (1.1.3—2) вполне удовле­ творительно описывает зависимость а (А) крутого склона и, следовательно, вполне может быть применимо для этих целей.

Учитывая, что значение тангенса угла можно переписать в виде приращения dh/dx, из зависимости (1.1.3—2) можно

32

3-.316-Л

Т аблица 3

Значения А/; к,; А для крутых склонов, профиля которых изображены на графике 8

вывести уравнение профиля крутого склона. Действительно, переписав (1.1.3—2) в виде

выбирая граничные условия таким образом, чтобы при л: = 0 значение Л также было бы равно нулю, запишем уравнение профиля крутого склона или, заменив k fa — t

Сопоставляя уравнение (1.1.3—3) с (1.1.2—5) можно отме­ тить, что уравнение (1.1.3—3) является как бы частным'ре­ шением (1.1.2—5), а (1.1.3—4) — конечное решение частного уравнения (сравнить степени в уравнениях, под которыми стоит основание натуральных логарифмов). Из графика 6 мы видели, что положение прямой линии (1.1.3—1) определяется величиной коэффициента kt . Если kt стремится к нулю, пря­ мая параллельна оси х и в переводе в обычную (не полутогарифмическую) систему координат, профиль склона выра­ зится прямой линией. Точно так же, поменяв знак kt , можем получить иную профильную характеристику крутого склона.

Итак, изменяя значения коэффициента kt , можно получить

различия в профиле склона (то же — типы). С этой целью исследуем уравнение (1.1.3—1), умножив последний член на величину In е

34

(убыль величины угла в точке пропорциональна уклону). Другими словами, чем больше угол склона, тем скорее он

ния уклона, а само приращение может быть совершенно различным, логично следует мысль о выделении крайних пре­ делов значения »темпа“, соответственно чему могут быть выделены основные типы крутых склонов.

Пользуясь методом, предложенным Ю. В. Медведковым (1966) и Б. Л. Гуревичем (1967), который они применили для анализа уравнений Кларка (Clark, 1951) плотности распреде­ ления населения в городах, вернемся вновь к уравнению (1.1.3—5). Интегрируя это уравнение в пределах значений

(1.1.3-7)

вновь придем к уравнению (1.1.3—1), однако, в данном слу­ чае правую часть уравнения (1.1.3—7) оставим неизменной

А

ln tg а.х — ln tg cc0 = — J k-dx

о

либо используя первую операцию с (1.1.3—1)

X

(1.1.3—8)

о

h

X

График 7. Поперечные профили крутых склонов. Обозначения: 1, 2, 5 — уступы Сотнурской возвы­ шенности у дер. Шаренбал (МАССР); 3, 4 — про­ фили склонов балки (там же); 6, 7, 8 — склоны Горкинского оврага (окр. г. Казани).

Потенцируя (1.1.3—8), получим уравнение

X

в (1.1.3—2), а зависит от х. Соответственно изменениям при­ ращения уклона, выделяются морфологические типы крутых склонов:

1 тип. kt < О (А, = const). Применяя метод, с помощью которого было получено уравнение (1.1.3—4), можно пока­ зать, что профиль крутого склона будет в ы п у к л ы м .

2 тип. kt — 0. Приведенные выше рассуждения привели нас к выводу, что в данном случае профиль крутого склона

ный. Таким образом, судя по уравнению (1.1.3—9) подобными четырьмя типами может быть исчерпано все морфометриче­ ское разнообразие крутых склонов.

36

/

График 8. Распределение (приращение) уклонов по поверхно­ сти крутых склонов (1—8), изображенных на графике 7 (сплош­ ная линия) и кривые (точки) аппроксимирующего уравнения.

§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ КОЭФФИЦИЕНТА k t ОТ СРЕДНЕГО УКЛОНА КРУТОГО СКЛОНА

Одним из выводов при анализе уравнений (1.1.3—6а) и (1.1.3—66) является предположение о наличии зависимости коэффициента kt от среднего ук­

лона склона. Это предположе­ ние станет очевидным, если вы­ писать из таблицы 3 все значе­ ния kt для склонов на графике 8 и сопоставить их со значения­ ми средних уклонов профилей (таблица 4).

График 9. Зависимость коэффициента К/ от среднего уклона крутого скло­

на (tga)-

37