Файл: Пластическое деформирование металлов [сборник статей]..pdf

Выражение для эквивалентного напряжения можно представить так

Считая, что образование области локализации происходит при максимальных или постоянных нагрузках для критического со­ стояния, имеем

Используя уравнения (2), (8), (14), (15)—(17), для критической подкасательной Тх получим

JL

________________А 2 П 2________________

(18)

D \ + D\ma + 2 Z>3 (Di + Di) m T

На рис. 4 показаны графики зависимости Тг = Тг (та) для а = =90°, 0°, 7?о=7?90 д л я различных значений параметра mz. Эти же графики справедливы для трансверсально-изотропного металла. Из графиков видно, что касательные напряжения могут значительно влиять на критическую подкасательную, характеризующую кри­ тическую эквивалентную деформацию.

Остановимся на процессах нагружения, в которых оси 1, 2, 3 являются главными осями тензора приращений деформаций, но не являются главными осями тензора напряжений. Это возможно, когда

do12 —

Эщ 2Д Ц С ?б11 4 - ^12212^22^622

2Al212

Вэтом случае критическая подкасательная определяется из уравнения, приведенного в работе [1].

Впринебрежении влиянием касательных напряжений на вели­

чину Т1 это уравнение можно представить в виде

_ i _ ________________________

А 2 f/"(^ 4 ц ц — - 2Ашгта + Аъгъъгп?^)3

1 ( < 4 п п — А ц ц т ^ ( А г ш т а — •^ 4 i m ) 2m 0

72

После появления области ло­ кализации процесс деформации продолжается до образования сосре­

доточенных деформаций. В момент появления сосредоточенных деформаций

Полученные результаты могут быть использованы для обработ­ ки экспериментальных данных по исследованию полей напряжений и деформаций, возникающих в процессах сложной вытяжки. Соот­ ветствующая методика изложена в работах [2, 3].3

3. Цилиндрическая оболочка

Исследуем устойчивость тонкостенной (h<^r) цилиндрической оболочки из ортотропного листового металла, нагруженной внут­ ренним давлением р и осевыми усилиями Р (рис. 5). Предполагаем, что в момент потери устойчивости достигают экстремума различные

73

комбинации давления и осевой нагрузки. Считаем, что следствием потери устойчи­ вости является появление областей лока­ лизации. Рассмотрим случай, когда оси цилиндрической системы координат z, 0, г совпадают с главными осями анизотропии. Это означает, что оболочка обладает либо цилиндрической ортотропией, либо свер­ нута из листа так, что оси z, 0, г совпада­ ют с осями Т , 2', З'или 2', 1', 3' соответ­ ственно. Более сложный случай располо­ жения осей дан в работе [4].

На элемент оболочки, находящейся в однородном напряженно-деформированном состоянии, действуют окружные сг9 и осе­ вые oz напряжения (см. рис. 5).

Напряжения Сте, а2 и приращения де­ формаций в осевом dez, окружном dee и

где l, r, h — текущие длина, радиус срединной поверхности, тол­ щина оболочки; Рг — полное усилие, определяемое равенством

Рассмотрим различные случаи потери устойчивости. Дифферен­ цируя уравнение (23) и полагая р = const, найдем, что

Условие (25) означает, что усилие Рг достигает экстремума раньше, чем усилие Р в случае деформации трубы с уменьшающим­ ся радиусом срединной поверхности.

Таким образом, при выполнении ограничений (25) для крити­ ческого состояния имеем

При помощи уравнений (22), (23) и условия несжимаемости вместо (27) имеем

Используя уравнения (7), (14), (15), в которых пгт = 0, а ин­ дексы 1, 2, 3 заменяются на г, 0, г, (28) для критической

74

75

Эти условия совпадают с условиями, полученными для случая двухосного растяжения элемента листовой заготовки.

Таким образом для 0 т а т 'а (где т ' определяется из урав­ нения (21)), величина критической подкасательной подсчитывает­ ся по формуле (20).

показаны на рис. 6, в. Точки пересечения кривых имеют координа­ ту по оси абсцисс, равную Rl(1 + R).

Рассмотрим также частный случай устойчивости цилиндричес­ кой оболочки, находящейся в условиях плоской деформации (dee = =0) и подвергнутой осевому растяжению. Такая схема нагружения в некоторых случаях может быть использована для приближен­ ного анализа устойчивости процесса вытяжки цилиндрического ста­ кана из круглой заготовки.

При вытяжке цилиндрического стакана оси 1 ,2 ,3 локального репера исходной заготовки совпадают с осями z, 0, г цилиндричес­ кой оболочки. Рассмотрим процессы нагружения, при которых оси z, 0, г являются главными осями тензора деформаций, но, вообще говоря, не являются главными осями тензора напряжений.

Таким образом, анализ устойчивости процесса вытяжки ци­ линдрического стакана приближенно заменяется анализом неко­ торых эквивалентных цилиндрических оболочек, оси z и 0 которых соответствуют определенному положению одной пары фиксирован­ ных осей 1, 2 в заготовке.

Условие устойчивости для таких оболочек совпадает с условия­ ми (22), а величина критической подкасательной определяется из уравнения (20), в котором величина таопределяется из выражения

График зависимости Т, = Тл (R), построенный по формуле (34), показан на рис. 7.

76