Файл: Лазарев, Г. С. Устойчивость процесса резания металлов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 102

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

неустойчиво независимо от знака р, т. е. независимо от того, будет' ли фокус сходящимся или расходящимся.

Частное

решение, характеризующее движение вершины резца

в направлении осп О х\,

может

быть записано

в виде (61)

 

Xi =

Ae Ч Т

sin (kx + у) ,

(67>

где q — действительная

часть

комплексного

числа (66);, служит

показателем

возбуждения

 

 

'2 in

4 . 2 ) 3 , 4

=

±

Г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

т

 

 

 

 

 

Я , , 2 , 3 , 4 =

±

I 'I / V 1

 

±

1 /г i

1

I

(70)1

\ '

/

— 2 т

I }

—2 т

'

к — основная

частота

системы,

А,

у — произвольные

постоян­

ные, определяемые из начальных условий.

 

 

 

2. Если динамические силы образуют базовое силовое поле,,

структура которого

—

центр

(рис. 32,в), то

параметры

(58).

чисто мнимые. Это

возможно

только

в том

случае, если, р — 0 и

/ > 0, следовательно

(63),

 

 

 

 

 

 

 

 

Соответственно

корни

характеристического

уравнения

(.6.4.).. бу­

дут

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

Таким образом, среди корней (70) характеристического урав­ нения (62) найдется комплексный корень, действительная часть ко­ торого больше нуля. Следовательно, динамическое равновесие' (а значит, и процесс резания) будет неустойчивым. Частное' реше­ ние, соответствующее Яь запишется в виде (f6L))

?v,T qx

хх = Ае

=Ае

sin (/гт + v)

(7Г>

где q— действительная часть комплексного'1 ч щ с л а ' ( 7 0 ) — пока­ затель возбуждения

у2 т

6. Заказ № 10452.

81

к, А, у— те же. что и в уравнении (67).

3. Если динамические силы образуют базовое поле, структура которого —• седло (рис. 32г), параметры (58) действительные и разные по знаку. Положим для определенности f/, > О, U2 < 0. Тогда, сравнивая (58) и (63), найдем, что z\ > 0 и, следовательно, (64) h > 0, т. е. динамическое равновесие, а значит, и процесс ре­ зания будет структурно неустойчивым. При этом частное решение, •соответствующее Ai, запишется в виде

л-, = Ае

,

(73)

где Я.) (64) — показатель возбуждения

 

1

\ V р 2

 

 

Л! = . ,

In

- 1 —р .

(74)

У

 

 

 

4. Если динамические силы образуют базовое поле, структура которого — расходящийся узел, корни (58) действительные и мень­ ше нуля. Это условие возможно только в том случае, если п < 0 и У^р2 — / < | р | . В этом случае (63) z1 ) 2 > 0, и корни характеристи­ ческого уравнения (64) К\ и Хг будут также больше нуля. В этом •случае, если динамические силы образуют базовое поле типа рас­ ходящегося узла, динамическое равновесие системы неустойчиво.

Частное решение, соответствующее Л ь запишется в виде

,v, = А е

,

(75)

где Я) (64) — показатель возбуждения

я, =

-p+V Р 2 - / ' •

( . 7 6 )

У т У

Теорема П. Процесс резания является структурно устойчивым, если динамические силы (равнодействующие сил резания и сил упругости) образуют в окрестности рабочей части инструмента базовое поле, структура которого сходящийся силовой узел.

Доказательство. Если динамические силы образуют базовое поле типа сходящегося узл'а (рис. 33,<?), то параметры U u 2 (58) должны быть действительными и больше нуля

UU2 = P±V В 2 - - !

> 0 .

(77)

При этом

 

 

Р>У~Ф^Г\

;

(73)

82

Обращаясь к корням характеристического уравнения (64'')\ найдем, что при условии (78) h,Wi4 — чисто мнимые. Это значит, что решение уравнения движения системы (61) может быть запи­ сано в тригонометрической форме как суперпозиция гармонических колебаний. Следовательно, динамическое равновесие системы;, а. значит, и процесс резания в этом случае будет устойчивым.

§ 2. С Т Р У К Т У Р Н Ы Й КРИТЕРИЙ У С Т О Й Ч И В О С Т И

Исходя из второй теоремы, можно заключить,, что процесх ре­ зания будет структурно устойчивым, если (78)

Р> V Р2-1

Отсюда следует, что р > 0, / > 0 и р2 — / > 0. Учитывая',, что1

С11 —|— С'22

р =

и / =

СцС22—С12 С21. можно записать

 

L, =

Сп

+ С 2 2 > 0 ,

 

Lo = С и Со2 — С | 2 С21 ^> 0 ,

(79):

L 3

=

( С и - С „ ) 2 + 4 С 1 2 С л , > 0 .

 

Полученный

структурный критерий устойчивости

позволяет'

по заданному режиму резания и жесткости упругой системы стан­ ка рассчитать устойчивость процесса резания. Так, если нарушено'

только первое

неравенство

[L\ < 0 ) , в окрестности

вершины

резца

образуется расходящийся силовой узел.

 

 

 

 

Если

нарушено только

второе неравенство ( L 2

< 0 ) , образует­

ся базовое поле типа седла; и если нарушено только третье

нера­

венство

( £ з < 0 ) , образуется фокус. Расходящийся

фокус

возни­

кает,

если одновременно

нарушены первое

и третье

неравенства:

(L, <

0, U <

0).

 

 

L x = 0,

 

Если нарушено третье неравенство и при этом

возни­

кает неустойчивая структура — центр.

 

 

 

 

Процесс

резания структурно устойчив

только

в том случае,,

если динамические силы образуют базовое силовое поле типа схо­

дящегося силового узла. При этом все три неравенства

структур­

ного критерия устойчивости

(79) выполняются.

 

Классификация базовых силовых полей в зависимости от на­

рушения того или иного

неравенства структурного

критерия'

устойчивости приведена в табл. 1.

 

6*

 

83;

Случай

1

2

3

4

5

6

Критерий

устойчивости

Ц > 0- £ 2 > 0; L 2 > 0

I , < Q; Lo >;0- 1 3 > 0

0 > i - i > ! 0 ; £ , < 0; L 3 > 0

L , > 0; L 2 > 0.; L 3 < 0

L i = 0; I 2 > 0; L 3 < 0

L l < 0; I , > 0; L z < 0

Тип базо­ вого поля

Узел сходя­ щийся

Узел расхо­ дящийся

Седло

Фокус

сходящийся

Центр

Фокус рас­ ходящийся

Т а б л и ц а 1

Показатель

возбуждения

0

/_

Л = 1 / \ U — L ,

'2 т

Л = 1 /

l-"l3-Lt

q = | /

2 / " Ц - L ,

 

I

4 т

Я =

 

1 /

1 ^

 

 

2 т

q =

1 /

2 , 1 7 - L ,

 

 

4 /И

Из трек неравенств структурного критерия устойчивости одно­ временно может быть нарушено одно или два неравенства. При­ чем, можно доказать, что второе и третье неравенства одновремен­ но нарушены .быть не могут.

В табл. 1 справа приведены значения показателей возбужде­ ния, которые позволяют рассчитать количественно эффект не­ устойчивой структуры. Показатели возбуждения позволяют про­ водить сравнительные оценки влияния того или иного параметра режима обработки на устойчивость процесса резания.

Значения показателей возбуждения, приведенные в табл. 1, получены из соответствующих формул (68). (72), (74) и (76) с учетом выражений, входящих в неравенства структурного крите­ рия устойчивости (79).

Следствие из структурного критерия устойчивости

Рабата динамических сил (равнодействующих сил резания и -сил упругости) при движении вершины инструмента по замкнуто­ му контуру не характеризует устойчивость процесса резания.

Работа

(циркуляция) вектора силы F на замкнутом

контура

может быть

рассчитана на основании известной теоремы

Стокса

ГГ( dF2

dFt\

a

 

где ст — область, по контуру которой определяется работа.

Подставим значения проекций динамических сил, согласно за­ висимости (46) в подынтегральное выражение. Учитывая левое на­

правление осей координат (см. рис. 24),

после интегрирования

най­

дем приращение работы при движении

резца против направления

стрелки часов

 

 

 

 

 

А = (С2 ) — С] 2 ) а.

 

 

 

 

Из полученного выражения следует, что работа динамических

сил на замкнутом контуре больше нуля

( Л > 0 ) ,

если

С2\ >

С\2.

Значит ли это, что устойчивость процесса

резания

может

быть оп­

ределена на основе анализа работы динамических сил?

Согласно критерию устойчивости (79) в первое неравенство (L\ = Сц + С22 > 0) значения Си и C2 i вообще не входят. Между тем нарушение одного лишь первого неравенства приводит к апе­

риодической неустойчивости процесса резания. Во второе

и тре­

тье неравенства, кроме коэффициентов С\2

и Сои входят

значе­

ния

Сп и С2 2 . Из

выражений

L 2 >

0 и L 3 >

0 структурного

крите­

рия

устойчивости

(79) видно,

что

условие

С2 | > CVi не является

признаком нарушения какого-либо из неравенств критерия, а зна­ чит, и устойчивости процесса резания.

§ 3. А Н А Л И З Н Е Р А В Е Н С Т В С Т Р У К Т У Р Н О Г О КРИТЕРИЯ У С Т О Й Ч И В О С Т И

Выполним более детальный анализ условий, при которых про­ исходит нарушение каждого из неравенств структурного критерия устойчивости (79), поскольку выше, на примерах, были рассмот­ рены лишь частные случаи нарушения второго и третьего нера­ венств критерия.

1. Перзое неравенство L { > 0 с учетом значений Сц и С 2 2 позависимостям (47) запишется

Li = Ci + С2 + г cos а г >

0.

(80)

Откуда следует, что нарушение первого

неравенства

возможно

только в том случае, если а г > 90°.

В настоящем разделе мы огра­

ничимся случаем а г < 90° и поэтому

будем

считать, что условие

L \ > 0 выполняется при любом режиме работы и любых парамет­ рах жесткости упругой системы станка. Ниже будет специально

85

Смотрите также файлы