Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 191

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

240 ДОПОЛНЕНИЯ

Для

доказательства

рассмотрим

«квазимногочлен»

 

 

 

 

 

71

 

 

 

 

 

 

Тп(z)

=

2

«fc2*-

 

 

 

 

 

 

к——п

 

 

 

который

по

умножении

на z"

превращается,

очевидно,

в обычный многочлен

 

 

 

 

 

G (z)

= znTn (z) =

 

 

 

 

 

= а-п - f

a_n+1z + . . . +

an_1z2n- 1 +

anz2n,

(Д.П .11)

по

условию

эрмитово-симметричный

(ci-k =

ak) к = 0,

1, ..., n). Поэтому (см. упражнение 1 к Дополнению I) его корни расположены зеркально относительно единич­ ной окружности с тем лишь исключением, что в данном

случае некоторые из них могут равняться нулю:

таких кор­

ней будет точно г( >

0), если ап =

ап_х = . . .=

ап_г+1 = 0,

ап-г =5^ 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

к

 

у

1

 

/

\

 

G (z) = Czr П

(z -

П (z — zv) ( z -----=—), (Д.Н.12)

где

ц =

1,

2,. .

fe;

0 < |zv

|< 1 ,

1 ^ 1 = 1 ;

v = 1, 2,...,

I (r -f-

к -}-

21

2n), C =

const,

а любые два из трех следующих за С множителей в про­ изведении (Д. 11.12) могут и отсутствовать.

Представление (Д.П.12) можно переписать в виде

к

I

 

 

G(z) = C'zr+I П (z - у П (z

zv) (-1- -

zv),

 

V = 1

'

'

l

 

 

 

где C' = (— 1)lC П

• Отсюда

 

 

V = 1

кI

т п (z) = z-"G (z) = C'z%П (z - У П(z - Zv) v=i

 

fi. Фу й к ц и о й а й ы e if g

 

ш

причем s = г -f-

l — n. Так как здесь последний множи-

i

 

 

 

тель (П ) на окружности г — eil (0 ^ t ^

2я)

неотрица-

'v a l'

 

 

то неотри­

телен и этим же свойством обладает Тп (eil),

цательна и функция

 

 

 

к

 

 

 

f(t) = C'eM П ( в « - у ,

 

(ДЛ1.13)

 

y=i

 

 

откуда следует,

что кратность каждого из

корней £ чет-

 

 

 

г*

ная. В самом деле, если бы среди них нашелся корень,

скажем £х = еи>, кратности 2m -f 1, то произведение

к

( Д ) в правой части (Д.П.13) содержало бы множитель

V=r

(eil - 8ilf m+1 = (2i)2m+1ei(2m+1)

.

Но тогда вещественная функция

/(t) /sin*m+1

вдостаточно малой окрестности точки tx отлична от нуля и, по непрерывности, сохраняет знак. Однако числитель этой дроби всюду неотрицателен, а знаменатель меняет знак в окрестности точки — противоречие!

Итак, можно записать

 

 

к

к/2

 

 

 

 

П ( ^ - У = П ^ ' - Р 2-

(Д.НД4)

 

 

р=1

1А=1

 

 

Но

тогда _из

(Д.Н.11),

(Д.Н.12) и

(Д.Н.14)

следует:

о<

г . («") =

| <«*')|=

|e («"j |=

 

 

 

 

 

к/2

 

 

 

 

 

|С| пП 1 ^ ' — ^ Г П - “г ’ **•

 

 

 

Р-Х

v-1

 

242

 

ДОПОЛНЕНИЙ

Теперь достаточно положить *)

/кч-у. п

- у п(*■' - *.) - 2 ЬА

I П | . , | |

1‘- 1

 

чтобы получить представление (Д.П.10).

Предложение

2°

доказано.

Пусть 6 — рассмотренный в п. 1 функционал, опреде­ ленный на тригонометрических многочленах (порядка не выше п)

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

Тп{еи) =

 

2

акеш

 

 

 

формулой

 

 

 

 

к~—п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

®{Г«} =

2

 

 

 

(Д.И.15)

 

 

 

 

 

 

к = —п

 

 

 

 

где ск =

c_fc (А: =

 

0, 1,...,

га) — коэффициенты

заданной

(фиксированной)

теплицевой формы

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

A -9sPi g.

 

 

(д.п .16)

 

 

 

Р ,9 = 0

 

 

 

 

 

 

3°. Для того

чтобы

величина @ {Тп}

была

неотри­

цательной (положительной)

для

всех

не равных тожде­

ственно

нулю

неотрицательных тригонометрических

многочленов Тп (z)

(z =

eil),

необходимо

и достаточно,

чтобы теплицева

форма

(Д. 11.16),

определяющая <5,

была неотрицательной (положительно определенной).

В самом деле, на основании предложения 2° всякий неотрицательный тригонометрический многочлен Тп (eil) представляется в виде

П

Tn{eil) = 2

р,«=о

*) Напомним, что у + / < п.

II. Ф У Н К Ц И О Н А Л Ы S И 0

243

так что

 

 

п

 

 

<£{тп} = 2 с ^ й , ,

 

р,а=о

 

откуда и следует утверждение 3°.

 

Т е о р е м а Д.П.2. Для

того чтобы эрмитова теп­

лицева форма

 

 

 

п—1

 

Тп_г{х,х)=

2 ср-ЛЛс

(Д.Н.17)

P , q = 0

была положительно определенной, необходимо и доста­

точно,

чтобы

ее

коэффициенты

ср (=

с_р)

допускали

представление

 

 

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

СР = 2

г v6v

( р

= 0, ±

1 , . . . ,

±

( п

-

1)),

(Д -II. 18)

v=X

 

 

 

 

 

 

 

 

в котором

 

 

 

 

 

 

 

 

 

|rv I >

0,

|ev I

= 1

(V =

1,

2,...,

п)

и все ev

различны.

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Д о с т а т о ч н о с т ь ус­

ловия видна из того, что форма (Д.П.17)

с

коэффициен­

тами (Д.Н.18)

может быть переписана в виде

 

 

 

 

 

 

П — 1

П

 

 

 

71

П — 1

 

 

 

Tn~i(x,x) =

 

2 (2

 

 

 

2 г*

2

“ ,

 

 

 

 

p , q =0 'v = l

 

*

 

v = i

 

p = 0

 

 

из

которого

следует,

что

Тп-Х(х,

х) Д> 0

при

х —

=

{Ео, h,-

■•, Sn-i}

0>

поскольку

все

гч>

0, а

все

ev

различны (v

=

1, 2,

..., п)

(ср.

с доказательством дос­

таточности

в теореме

Д.П.1).

У

положительно

опреде­

 

Н е о б х о д и м о с т ь .

ленной

формы

(Д.П.17)

определитель

Dn-i =

=

del I cp_g I р7а=о Ф 0

 

(следствие

1

теоремы

5.2).

Выберем

произвольное

£, =

сп

на

окружности

(см.

Смотрите также файлы