Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 192
Скачиваний: 0
244 |
|
ДОПОЛНЕНИЯ |
|
||
замечание 1 к |
теореме |
13.1) |
|
||
с о |
С-1 |
■ • • с-п+1 1 |
|||
С1 с о |
|
|
с - п + а |
с -п+1 |
|
Сп-1 С П - 2 |
• |
• • |
с о |
я-1 |
|
1 |
С71-1 |
• |
• • |
c i |
С 0 |
Тогда однородная линейная система
П
2 cp- 9u<? = ° |
(? = 0 ,1 |
(Д.И.19) |
р=0 |
|
|
допускает ненулевое решение {и0, |
..., ип-х, ип}. Заме |
|
нив в этой системе р на п — р, a q на п — q, убедимся, что |
||
той же системе удовлетворяют числа {йп, йп-г, ..., йх, й0}:
П |
|
2 Cp_qHn_q = 0 |
(<? = 0, 1, . . . , ll). |
Р = 0 |
|
Но поскольку D n^1 ф 0, решения рассматриваемой систе мы определяются с точностью до множителя, так что
ип |
7 1 -1 |
|
|
|
|
|
|е| = 1 |
Uo |
1(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(в частности, uo =j=0, ип фО). Итак, |
за счет умножения |
||||||
всех uq (q — 0, |
1, |
..., п) на некоторый множитель можно |
|||||
добиться, |
чтобы |
е = 1 . |
Будем считать, что это сделано, |
||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ n —q |
Mq |
(jq |
= 0 , 1 , |
. . . , 7l). |
||
Рассмотрим эрмитово-симметрический многочлен |
|||||||
u n (z) |
= U0 + |
ИХ2 -1- |
... |
+ unzn |
(ио = й п ф 0). |
||
Умножив |
его на z~q и применив при z = |
eil функционал |
|||||
6 (см. (Д.П.15)), получим в силу (Д.П.19) |
|
||||||
Щип {еи)е~&} = |
|
|
|
|
|
||
= C—qllq |
Ci—q ll i |
-|- • ••“[- Cn —qHn = 0 |
(q = |
0, 1, . . . , 11). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
(Д.П.20) |
|
|
|
II. ФУНКЦИОНАЛЫ © И д |
245 |
||
Покажем, |
что все корни многочлена |
Un (z) различны |
||||
и по модулю |
равны 1. |
Пусть eUi, eil», |
ег‘т — все раз |
|||
личные корни |
нечетной |
кратности многочлена Un (z), |
||||
лежащие на |
окружности |
|z| = 1 . Определим многочлен |
||||
G (z) степени т формулой |
|
|
||||
= е |
nim |
г |
,+ !+"‘ |
m |
(z — e{,i). .. (z — е1'"1) при лг > 1, |
|
2 |
е 2 |
|||||
I== 1 |
при |
т — 0. |
|
|
|
|
Если у многочлена |
Un (z) имеются корни, не лежащие |
|||||
на окружности |z|= 1, то они располагаются зеркальны
ми относительно нее парами |
{|Зг, 1/|3,} (I = 1, |
..., s), так |
что общее их количество с |
учетом кратности |
— четное. |
Четным является, очевидно, и общее количество корней четной кратности, лежащих на окружности |z| = 1 (каж дый корень повторен по его кратности). Отсюда легко за
ключить, |
что четным является и число |
п — т = 2к. |
Теперь Un (z) можно представить в виде |
|
|
|
Un(z) = CG (z) K { z) k [ |
(Д .11.21) |
где К (z) |
— многочлен степени к *), а С = const. Но тогда |
|
квазимногочлеи |
|
|
|
t f ( z ) = - ^ - f f ( 4 - ) t f » ( z ) |
(Д.11.22) |
при z = eil обращается в вещественный тригонометриче ский многочлен. В самом деле, в силу (Д.11.21) имеем
|
H{Z) = |
\C\*G{z) g ( - ^ ) k {z) k { ± ) , |
|
||||||
т. |
е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н (eil) = |
\C\2G(eil) |
|
) К (еи) Т Щ . |
|
||||
|
*) З д е с ь |
К (2) = |
(2 - |
а / ‘ . . . |
(2 |
- а г ) ^ ( г |
. . . (2 - |
p s) Vs, |
|
г д е |
| а 3- | = |
1 ( / = |
1 , 2 , . . . , г ) , |
|
0 < |
| Р г | < |
1 ( 1 = 1 ^ 2 , . . . , s ), |
||
p i |
+ р .2 + . . . |
+ p r + |
V i + |
V 2 ■+• . . . |
+ |
v s = |
А \ Н о |
т о г д а zkK |
( I / 2) = |
= |
Ci (2 - а х ) л . . . (2 - |
а Т)*г (2 - |
l / P i ) 4* . . . ( г - |
г д е C i = |
|||||
246 ДОПОЛНЕНИЯ
Более того, отсюда видно, что вещественный тригономет рический многочлен Н (eil) порядка т -\- к — п — к неотрицателен. При этом, если к 0 (напомним, что т
j> 0 ), то Н (e{i) ф 0. Атак как форма (Д.П.17) — положи
тельно |
определенная, то на основании предложения 3° |
|
<£{#} > 0 . |
Но это, |
если учесть структуру (Д. 11.22) многочлена Н (z), |
противоречит равенствам (Д. 11.20) (напомним, что сте
пень G равна ?», а т -f- к — п — к < п). |
|
||||
Стало быть, к = 0, |
т. е. |
т = п и все корни е„ |
= е'1'1 |
||
(v = 1, 2, |
..., |
п) многочлена |
Un (z) различны и лежат на |
||
единичной окружности. |
произвольный многочлен |
Q (z) |
|||
Рассмотрим |
теперь |
||||
степени ^ |
п |
и представим его в виде *) |
|
||
|
|
П |
|
|
|
Q (z) = 2 |
Q W |
(z) + const•u n (z), |
|
||||
|
v = l |
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
h*(z) = —— ~T 7pT T " |
(v = |
l , 2 , . . . , n ) |
(Д.Н.23) |
||||
(z - 6v) UnW |
|
|
|
|
|
|
|
— многочлены |
степени |
n — 1 |
(при n = |
1 имеем |
hx = |
||
= const Ф 0). |
А так как в силу (Д.Н.20) |
<2{£/n} = |
0, то |
||||
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
<?{<?} = |
2 |
^<?(е,), |
(Д.Н.24) |
|||
где |
|
|
|
V = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Гv = |
|
(V = |
1, 2, . . ., 72). |
|
|
||
Полагая в (Д.Н.24) |
Q (z) = |
zp (р = 0, 1, . . ., 72 — |
1), по- |
||||
лучим |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СР = 2 Г^ |
|
(р = |
0,1, . . . ,72— 1), |
|
|||
|
V = 1 |
|
|
|
|
|
|
*) Здесь снова использована интерполяционная формула Лаг ранжа (ср. (Д, 11,6-)); впрочем, полученное соотношение опять не посредственно проверяется.
И . Ф У Н К П Н О Н А Л Ы |
£ |
И g |
|
247 |
||
й. остается лишь показать, |
что |
|
|
|
|
|
rv > 0 |
(v |
= 1, |
2, |
..., п). |
|
|
С этой целью заметим, что h4(ev) |
= 1, |
и потому |
||||
К (^J~j = М ч ) = |
h., (е„) = 1 |
|
(v = |
1, 2, . . ., п). |
||
Стало быть, |
|
|
|
|
|
|
|
= ( Z - 8 V) £ , ( 4 - ) , |
|
||||
где gv (z) — многочлен |
степени п — I (v |
= |
1, 2, ..., л). |
|||
Но тогда (см. (Д.П.23)) |
|
|
|
|
|
|
К (2) й, ( - f ) - |
К (z) = |
|
г/n (*) Ц - f ) |
|||
|
|
|
|
(v = |
1, 2,. . . , n). |
|
Полагая здесь z = ei( и применяя к обеим частям функци онал <5, получаем с учетом (Д .11.20)
г, = в {hv( /') } |
= ® {К (eil) Тк (е~и)} |
(v = 1, 2 , . . . , п). |
||
А поскольку тригонометрические многочлены |
||||
К (еи) |
(е~и) |
= |^v(e’')|2 (v = 1 , |
2, ..., re) |
|
неотрицательны |
и |
не равны |
тождественно нулю, то в |
|
силу 3° |
> |
0 (v = 1, |
2, ..., п). |
|
|
|
|||
Теорема доказана*).
З а м е ч а н и е . Можно доказать, что в случае, если форма (Д.П.17) неотрицательна и вырождена, а ранг ее равен р ( < п), то коэффициенты ср допускают (и при том единственное) представление
р |
|
|
Ср = 2 г,8? |
( р = 0 , 1 , . . . , п - 1), |
(Д .И .25) |
*) Теорема Д.П.2 представляет собой лишь часть более полного утверждения (см. [1], статья I, гл. 1, теорема 9).
248 |
ДОПОЛНЕНИЯ |
|
где rv |
0, |ev| = 1 и все ev (v = 1, |
2, ..., р) различны |
(см. [1], статья I, гл. 1, теорема 12). |
здесь соответствую |
|
Как видим, в отличие от (Д.П.8), |
||
щее представление получается без дополнительного тре бования D n-2 =j=0.
4.Введенные в п. 1 функционалы © и @, действующие
впространствах многочленов и тригонометрических мно
гочленов соответственно, позволяют для случая в е щ е с т в е н н ы х теплицевых форм построить еще одно ин
тересное преобразование, имеющее ряд |
приложений в |
||
проблеме моментов *). |
|
||
Для упрощения символики будем рассматривать теп- |
|||
лидеву |
форму порядка п -+- 1, а именно, |
вещественную |
|
в адратичную форму |
|
|
|
П |
(с-р = ср; Р = о,1 , . . . , |
|
|
2 |
сР-?£р£? |
п). (Д.И.26) |
|
Р .9 = 0
Интересующее нас преобразование порождается форму
лами
к
*к = 4 г |
2 |
(* = 0 ,1 .........п). (Д.11.27) |
1 |
т= |
0 |
Напомним, что линейный функционал <5, отвечающий фор
ме (Д.П.26), относит |
тригонометрическому многочлену |
||||
|
П |
|
|
|
|
Tn(z ) = |
2 |
V |
P |
(* = «*') |
|
|
р=—n |
|
|
|
|
порядка не выше п число |
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в {Г п (2 )}= |
2 |
V |
p- |
|
|
|
|
Р=5—П |
|
|
|
Поэтому формулы (Д. 11.27) |
можно |
переписать в виде |
|||
S(c = ® { ^ r ( z + ^ - ) fcJ |
|
{z = |
eu, |
k = 0, i, ... ,n), |
|
|
|
|
|
|
(Д.Н.28) |
*) См. [1], статья I, гл. 1, § 4, откуда и заимствуется излагае мое в п. 4 преобразование.