Файл: Иохвидов, И. С. Ганкелевы и теплицевы матрицы и формы. Алгебраическая теория.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 190
Скачиваний: 0
it. Фу н к ц и о н Ал ь! s н ® |
235 |
2.В качестве первого применения функционалов @ и
Чприведем, хотя и в неполном, но достаточном для на ших целей виде, две теоремы из классической проблемы моментов (степенной и тригонометрической). Это тем бо лее полезно, что книга Н. И. Ахиезера и М. Г. Крейна [1], из которой мы заимствуем этот материал, вышла очень давно (1938 г.) *).
Т е о р е м а Д.П.1. Для того чтобы (вещественная) ганпелева квадратичная форма
П—1
Нп- х{ х, х )= 2 |
(Д .11.1) |
J, К = 0 |
|
была положительно определенной, необходимо и достаточ но, чтобы ее коэффициенты sh допускали представление **)
|
|
|
71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
** = |
2 |
Pvtf |
(й = 0 , 1 , . . . , |
2га- 2 ) , |
(Д.И.2) |
|||||
|
|
|
v=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P v > 0 , |
(v = |
1, 2,..., |
/г), |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
— ОО < |
<Уг < |
”0-2 < |
•• ■< Ап < |
4 |
00• |
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Д о с т а т о ч н о с т ь . |
Из |
||||||||||
представления (Д.П.2) вытекает, что |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
71—1 |
|
|
П—1 |
П |
|
|
|
|
|
Я«-1 (*,*) = |
2 |
sj+, ^ , = |
2 |
2 |
P*<H+%£k = |
|
|||||
|
|
|
|
з, |
k=o |
|
|
j, k=o v=i |
|
|
||
|
|
|
= 2 P v ( 2 i ^ ) 2> o |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
v=i |
4-=0 |
|
' |
|
|
|
|
|
для |
всех |
x = |
{|0, h, |
. . ., |
In-i} |
=#= 0, |
ибо одновременные |
|||||
равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
n—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
^ |
= 0 |
|
(v = 1 , 2 , . . . , b ) |
|
|
||||
|
|
k=o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*) |
Впрочем, |
сравнительно недавно вышел ее перевод на англий |
||||||||||
ский язык [11]. |
|
считаем 0° = |
1. |
|
|
|
|
|
||||
**) |
Здесь снова |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9* |
236 |
ДОПОЛНЕНИЯ |
невозможны. |
В самом деле, в противном случае (посколь |
ку х Ф 0) должен был бы равняться нулю определитель Вандермонда
1 |
^ ... А?-1 |
|
|
|
||
1 |
й2 ... А"-1 |
> |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 On . . . О" -1 |
|
|
|
|||
что исключено, так как все ■&„ |
(v = 1, |
2,. .., п) различны. |
||||
Таким образом, Нп-г (х, х) — положительно определен |
||||||
ная форма (п. 5.4). |
|
Начнем с |
одного |
полезного |
||
Н е о б х о д и м о с т ь . |
||||||
определения. |
многочленом ранга к называется |
|||||
Квазиортогональным |
||||||
многочлен Qk(Я) ф 0 степени ^ |
к, |
обладающий свойством |
||||
©{<?* М И = 0 (7 = 0, |
1, |
..., |
А - |
2; А < |
п), (Д.Н.З) |
|
где 6 — функционал, определенный в п. 1, а последователь ностью (s), его определяющей, является последователь ность) коэффициентов s0, s2, ..., s2п- 2 формы (Д.11.1). Следующий факт удобпо выделить в качестве самостоя тельного предложения:
1°. У вегцественного квазиортогопального многочлена Qk (к) все корни вещественны и просты.
В самом деле, пусть •0‘1, Ф2, ..., |
— все те в е щ е с т- |
|||
в е н н ы е |
р а з л и ч н ы е корни квазиортогонального |
|||
многочлена Qk (Я) ранга А, |
к р а т н о с т и к о т о р ы х |
|||
н е ч е т н ы (если таковые имеются). |
Тогда при надлежа |
|||
щем выборе множителя е = + |
1 произведение |
|||
G (Я) = |
е (Я — йг) (Я - |
й2) |
... (Я - |
Ър) Qk (Я) (ф 0) |
неотрицательно для всех вещественных Я. Как известно (см. ниже упражнение 1), любой неотрицательный веще ственный многочлен есть квадрат модуля некоторого ком плексного многочлена, в частности,
П—1 п —1 п —1
Сг (Я) = | 2 |
(5ц + ^ ц ) Я1* | = 2 |
Ы ^ 4 ~Ь 2 Tl^TlvAli+v |
Ц =0 |
Ц, v = 0 |
Ц, 4=0 |
(5ц = 5ц, Дц = % ; ц = о, 1 , . . . , п — 1).
II. ФУНКЦИОНАЛЫ @ И S |
237 |
Но тогда по условию теоремы
71— 1 11— 1
© {G (X )}= |
2 |
sH v^p|v + 2 |
«и* V I * > |
о |
|
Н-, v= 0 |
|A, v=0 |
|
|
(напомним, что G (X) =(= 0, так что хотя бы одна из систем |
||||
чисел {g0, £i, |
gn-i} |
или {т|0, Hi |
Нтг-т> |
ненуле- |
вая) *). |
|
|
к — 2, то, |
согласпо |
Если мы теперь допустим, что р |
||||
определению (Д.П.З) квазиортогональных многочленов, ©{(? (Я)} = 0. Стало быть, р > к — 1, и ни один из кор ней •0,1, ^2, ..., йр не может быть кратным, в противном случае, так как по условию кратности их нечетны, сте пень многочлена Qk (X) оказалась бы большей к. Поскольку же Qk (X) — вещественный многочлен, число р в точности равно его степени.
Предложение 1° |
доказано. |
|
|
|
|
Рассмотрим теперь произвольный многочлен G {X) сте |
|||||
пени 2п — 2. Пусть Qn (X) — вещественный квазиорто- |
|||||
гональный многочлен степени гг, а |
< й2 с |
... < йп — |
|||
все его корни. Представим G (Я.) |
в виде |
|
|||
|
G (X) |
= Qn{X) q {X) + |
г (X), |
(Д.Н.4) |
|
где q (X) — многочлен степени ^ |
гг — 2, а остаток г (X,) — |
||||
многочлен степени ^ |
гг — 4. |
|
|
|
|
Полагая |
X — й\,, |
получаем |
|
|
|
г |
( f lv) = G |
(<**) (V = |
1, 2, |
. . . , гг). |
( Д . Н . 5 ) |
Представим г (Я.) по интерполяционной формуле Лагран жа ([10], § 62) **);
г(Я) = у ^ г ( й у). ( Д - И . 6 )
*) Этим фактически установлено некоторое общее предложение (ср. [1], статья I, гл. 1, теорема 1) — аналог приведенного ниже
предложения 3°. |
(Д .П .6) очевидна, так как (см. (Д.П.5)) |
**) Впрочем, формула |
|
многочлен г (Я.) степени ^ |
п — 1 совпадает с многочленом, стоящим |
в правой части (Д .Н .6), |
в п различных точках di, йа, .... йп. |
23s |
Д01Т0ЛНЁНЙЯ |
|
В сочетании с (Д.П.5) это дает |
|
|
■(*<) = 2 |
■<?(»*)■ |
(Д.Н.6') |
^ |
(Л. — Qn |
|
Применим теперь к обеим частям (Д.П.4) функцио нал @. В силу определения (Д.П.З) имеем, учитывая
(Д -П .6'),
©{С(Я)} = @{г(Я)} = 2 pvG(f>v), |
(Д-11.7) |
v = i
где величины
= в |
(v = 1, 2,. . ., n) |
(X - flv) Qn (0J
не зависят, как видим, от выбора многочлена G (X). Вос пользовавшись этим, положим в формуле (Д.П.7) поочередно
|
(Я) |
{к = 1,2, . .. , n). |
|
|
|
||
Имеем |
|
|
|
п |
|
|
|
© { $ (Л.)} = 2 |
(^v) = |
pfc |
(к = 1, 2,. . . , л). |
v=X |
|
|
|
Но многочлены G (X) |
= q\ (X) |
неотрицательны, и ни один |
|
из них не равен тождественно нулю, а для таких многочле нов, как мы видели (см. начало доказательства предло жения 1°), в силу положительной определенности формы
(Д.Н.1)
р * = |
© { ? ? ( * ) > > |
о |
(Л= |
1, 2 ........... Л). |
|
|
Теорема Д.Н.1 доказана*). |
|
из |
одной теоремы |
|||
З а м е ч а н и е . Как |
следует |
|||||
Э. Фишера [43] (см. также |
[1], |
стр. |
13), |
теорему |
Д.П.1 |
|
для случая |
неотрицательных |
(вырожденных) |
форм |
|||
*) Теорема Д.Н.1 представляет собой лишь часть гораздо более полной теоремы (см. [1], статья I, гл. 1, теорема 3).
|
|
|
II. ФУНКЦИОНАЛЫ © И S |
|
|
|
|
239 |
||||||
(Д.Н.1), |
т. е. таких, |
у которых Dп-г = |
det |sj + k aL 0 |
= |
О, |
|||||||||
можно |
модифицировать |
следующим |
образом |
(см. |
||||||||||
также ниже упражнение 4). |
формы |
(Д.И.1) Dn^ = |
О, |
|||||||||||
Пусть у |
неотрицательной |
|||||||||||||
a Dn-2 Ф 0. |
Тогда коэффициенты sk (к = |
0, |
1, . . |
2п — 2) |
||||||||||
допускают и притом |
единственное |
представление |
|
|
||||||||||
|
|
|
п—х |
|
(/с= |
0,1,. .. , 2п — 2), |
(Д.Н.8) |
|||||||
|
|
|
V=1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pv > |
(v |
= 1, 2,. . |
п — 1), |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
- |
ОО < ■ & ! < т8-2 < |
. • ■ |
|
< + |
|
о о . |
|||||
По поводу обращения этого предложения см. ниже |
||||||||||||||
упражнение 5. |
|
Д.П.1 |
имеет место и для |
теплице- |
||||||||||
3. |
Аналог теоремы |
|||||||||||||
вых форм. Его доказательство во |
многом |
аналогично до |
||||||||||||
казательству теоремы |
Д.Н.1, |
в |
связи с |
чем |
мы пред |
|||||||||
варительно |
сформулируем |
некоторые |
вспомогательные |
|||||||||||
предложения — аналоги |
результатов, |
использованных |
||||||||||||
выше |
в |
п. |
2. |
|
|
|
|
|
2 обычных многочле |
|||||
Вместо рассматривавшихся в п. |
||||||||||||||
нов речь теперь пойдет о вещественных тригонометриче ских многочленах
|
П |
|
|
|
|
Т„(еи) = |
2 акеШ |
ia-k = |
ak, к = |
0,1,. . . ,п) |
(Д.П.9) |
|
П |
|
|
|
|
порядка |
п (если ап Ф 0) и, |
в частности, ■о многочленах |
|||
(Д.Н.9), |
н е п р и н и м а ю щ и х |
о т р и ц а т е л ь |
|||
н ы х з н а ч е н и й . |
|
|
Если |
||
2° (Т е о р е м а |
Ф е й е р а — Ф. Р и с с а). |
||||
многочлен (Д.П.9) |
неотрицателен (О |
t ^ 2я), |
то он |
||
допускает представление
71 |
\п |
|
г п(«’') = ! 2 ^ ш |2 - |
S |
(Д.П.Ю) |
Ч=о р, ч=9