Файл: Айвазян, С. А. Классификация многомерных наблюдений.pdf

пространства X, оставив, например, для дальнейшего рассмотрения лишь по одному представителю от каждой такой группы.

З а м е ч а н и е о необходимости нормировки в пространстве X*. Классифицируя признаки, необходимо помнить, что два признака Х% и Х*тестественно считать близкими не только в случае сравнитель­ ной малости расстояния р (Ху, Х*т) (евклидового типа) между ними, но и в случае их достаточно простой взаимной зависимости, например Хѵ = сХт, где с — некоторый скалярный множитель. Для того чтобы это оказалось учтенным при проектировании «наблюдений» X*, Х%, ...,

..., Хр в пространство меньшей размерности с помощью метода главных компонент, необходимо предварительно (до применения метода) со­ ответствующим образом пронормировать исходные данные в простран­ стве X*, например, переходя к «наблюдениям»

арифметическое ѵ-го признака

подсчитанное по п исходным наблюдениям.

И, наконец, в целях большего удобства технического представления результатов исследования (графиков, таблиц и т. п.) помимо необходи­ мой нормировки иногда еще дополнительно центрируют рассматривае­ мые наблюдения Х%, т. е. переходят, в конечном счете, к наблюдениям

В дальнейшем мы, как правило, будем предполагать вспомогатель­ ные операции нормировки и центрирования в пространстве X* выпол­ ненными, но в целях упрощения обозначений, будем опускать две верх­ ние волнистые черточки при записи соответствующих пронормирован­ ных и процентрированных наблюдений.

б) Применение главных компонент при анализе структуры семей­ ного потребления. В процессе исследований по проблеме «Типология потребителей и потребления» нами решалась следующая частная зада­ ча. Объект исследований — семья. Набор измеряемых на каждом «объ­ екте» признаков — удельные характеристики потребления (в расчете на одного члена семьи в единицу времени) по различным статьям рас­ ходов (табл. 4.1), — всего в количестве 31 штуки (р = 31)1. На первом этапе исследований была отобрана так называемая «контрольная» вы­ борка семей небольшого объема (п = 106).

1 Постановка задачи обсуждалась и принималась совместно с Н. М. Римашевской. Подбор й оформление исходных данных этого примера, их содержатель­ ный анализ был проведен Л. А. Левковой. В вычислительной части работы при­ нимал участие П. Ф. Андрукович.

158

Результаты проектирования тридцати одного 106-мерного наблюде­

признаки на пять условных классов так, как это сделано на рис. 4.4, то это даст пищу для достаточно естественного содержательного анали­

ально произведенной продукции к затратам труда на ее производство. Задача изучения зависимости показателей производительности труда

159

но-демографические условия их жизни, постоянно (и правомерно) привлекает к себе пристальное внимание исследователей.

Однако среди различных возможных подходов к решению этой за­ дачи мы бы выделили следующие две схемы исследования.

У*

/

У/ /

(Ѣ * \

Рис. 4.4. Расположение проекций 106-мерных наблюдений (из двойствен­ ного пространства X*) на плоскость первых двух главных компонент (у*, Уг )• Исследование взаимосвязей между признаками, характеризующими структуру и объем семейного потребления

С х е м а 1.

1) Разбиение исследуемой совокупности рабочих на однородные

произведенное отдельно внутри каждой однородной группы, выявлен­ ной на первом этапе (і ■— номер группы, внутри которой анализирует­ ся искомая зависимость).

160

СX е м а 2.

1)Разбиение исследуемой совокупности рабочих на однородные группы в пространстве признаков-аргументов X, например, с помощью

признаков (как правило, труднорегулируемых), описывающих техни­ ческий и организационный уровень производства (q < р), и подвектор Х<2>' = (х^+і), х ^+ 2\ ..., л4р>) признаков (регулируемых), опи­ сывающих социально-демографические условия труда. Затем разбиение

3) Статистическое исследование зависимостей типа

произведенное отдельно внутри каждой однородной группы подпро­ странства Х<’> (при аргументах Х<2>) и подпространства Х<2> (при аргументах Х<4). Здесь

лежат области Sj1). Аналогично определяется векторная функция /)2). Ниже приводятся результаты статистического анализа исходных данных по 100 работницам-ткачихам (п = 100) льнокомбината «Крас­ ная текстильщица» г. Нерехта Костромской области, составляющим более 80% всей численности ткачих комбината1. Эти результаты можно рассматривать как фрагменты осуществления этапов 1 и 2 в вышеопи­

санных схемах исследования.

Обозначение и содержание восемнадцати исследуемых признаков (р = 18) приведены в табл. 4.2.

Расщепление вектора признаков-аргументов X на два подвектора носит, очевидно, условный характер и зависит как от конкретных усло­ вий производства, так и от конкретных целей исследования. В нашем случае в подвектор X*1* были включены первые 9 компонент вектора X.

Учитывая разнородный физический смысл единиц измерения ис­ следуемых восемнадцати признаков, до применения метода главных компонент все эти признаки были пронормированы с помощью своих

1 Данные заимствованы из [4], а также из работы П. Ф. Андруковича, М. В. Друцкой, К. С. Кузнецовой, А. А. Назарова «Применение метода главных компонент для анализа производительности труда рабочих». — Сб.: Проблемы уровня жизни. М., ЦЭМИ АН СССР, 1972.

Т а б л и ц а 4.2

выборочных среднеквадратических отклонений s, т. е. был осуществлен! переход к новым (безразмерным) признакам

Проекция исследуемых ста (п = 100) восемнадцатимерных (р = 18)* наблюдений на плоскость первых двух главных компонент г/<‘>(X , Z)■ и г/(2) (X , Z), построенных по всем рассматриваемым признакам, пред­ ставлена на рис. 4.5.

Анализ нагрузок исходных признаков на первые две главные ком­ поненты так же, как и тщательное рассмотрение рис. 4.5, позволяет интерпретировать первую главную компоненту г/<1) как агрегирован-

162