Файл: Айвазян, С. А. Классификация многомерных наблюдений.pdf

Скачать файл (8,18Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 84

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

арифметическое среднее ѵ* (ѵ) наблюдений, выбранных некоторым об разом из V первых членов последовательности {Xj}, причем, вообще говоря, M X и = а,ц, где аіг — какие-то векторы средних, возможно и повторяющихся, из числа а, (/ = 1, 2, ...,), ранее рассмотренных.

И, наконец, обозначим

R t ( v +	1)	ѵг (ѵ)	т — s—р-\- 1	P2(Z<Vi Xy-f- i),
		Ѵі (ѵ)+ 1	(m — s) р

где V i (v)— число точек из			последовательности Х ъ Х2, ..., Х п,

участвующих в вычислении переменного центра тяжести і-го клас

са XІу
С ,,(ѵ +1 ) = -V«lv+1)Vj(v+ i ) -	m —s —p -\-1 P8 (Хг(ѵ +1)Х Д ѵ +1)).
Vj (-V+ 1) + V^ ( v + 1)	(m —s) p

На первом шаге процедуры из случайной последовательности берет ся Х 1 и принимается в качестве центра первого класса, т. е. при ѵ =

= 1,М1) = 1 и ZU) = (Zn) =	(X,).	2) извлекаем Х2 и подсчитываем
На втором шаге процедуры (ѵ =
Яі (2) = ■4 - ^7 ^		+ - ' р®.(Zu , Х2).
2	(т —s) р
Если Rx (2) > Fa (р , т—s—р +		1), где Fa (q, г)—100а%-ная точ

ка центрального ^-распределения с числами степеней свободы числи теля и знаменателя соответственно q и г, то Х2 принимается в качестве

центра второго класса, т. е. k (2) =			2 и
	Z‘« ^ ( Z la,Z 2a) = (X1, X 2).
Если же	Rx (2) ^ Fa (р , m—s—p + 1), то Х2 присоединяется к
первому классу, центр которого пересчитывается
	7	~V	-^l-h-^2
и, следовательно, k (2) =		1, Z<2) =	(Z12) =(Х 1).
На (ѵ +	1)-м шаге процедуры		вначале подсчитывается величина
	^min(v + l ) =	min	Rt (v+ l)=-.Rio(v+ 1).
Если		1 < г ' < * (V)
Если	# m ln (v + l)> M p , m—s —p + 1 ),
TO	# m ln (v + l)> M p , m—s —p + 1 ),
TO
k (v -j- 1) — k (v) “Г 1, Z<v+ U — (Zi.v+ Ь Z2.V+I...... Zft (V -f 1). v+ 1)
	= (Zlv»	Z2v> •••> Z*.(v)v, Xv4 1)

и переходит к следующему шагу, т. е. к рассмотрению точки Хѵ+2.

Если же R min (V +	1) <	Fa (р, m—s~ p + 1), то точка Хѵ+і от
носится к і0-му классу,	центр	которого пересчитывается по формуле
* , .( ѵ + 1)		<У) Х І, + Х Ѵ + \
* , .( ѵ + 1)		V. (ѵ)+ 1

Э т а п А. Положив в остальных классах
	А”; (Ѵ + 1) = Z/v,
подсчитываем величины Сг-0/(ѵ +1), / =		1,2,	k (v), ] 'ф і0.	Если
окажется, что
c <„/.(v + 1) =	min Cui>Fa(P, m — s — p+1),			(1.13)
то полагают	l < / < * (V )
то полагают
*( v + l) . = Ä!(v),	Z,iV+I= x ; ( v + l )	( i = l , 2 , ...,'k(v))

и переходят к следующему шагу, т. е. к рассмотрению точки Хѵ-)_2 Если же

		Сі,и(У+ 1)<Fa(p, т —s—р + 1),
то центр тяжести			класса	с номером і = min			(t0, /0)	пересчитывается
по формуле
■	„	I 1 \	V, ( ѵ + 1)Х ; ( ѵ + 1 ) + ѵ , ( ѵ + 1 ) Х ( ѵ + 1)
	у * / ѵ	I 1 \	_ ‘о 4	1 '	<»'	' 1 /о v	1 '	Іо 4 1 '
	КК	^			ѵ/о(ѵ+1) + ѵ/в(ѵ+1)
а для і Ф і0 и і Ф /о X* (ѵ +					1) =	Х і (ѵ +	1) причем классам с по
рядковыми номерами шах (г0, /о) +						1, ..., k (ѵ) присваиваются номера

на единицу меньшие (за счет «исчезновения» класса с порядковым номе ром, равным max (г0, /0)). Далее повторяется процедура А с заменой

і0 на і и Х і на X * до тех пор, пока не окажется выполненным соотно шение (1.13), либо не останется всего лишь один класс.

Последним (п + 1)-м шагом процедуры является реализация мини мального дистанционного разбиения S kt‘n)(Z^n'> относительно k (п) — точки Z(n>, полученной на предыдущем шаге.

З а м е ч а н и е 1. При сравнительно небольших объемах иссле дуемых выборок п можно использовать один из двух, или оба сразу вспомогательных приема:

циклическое продолжение выборки, т. е. реализация описанной процедуры на искусственно удлиненных последовательностях вида

X], Х2, ..., Х п, Хі, Х2, ..., Х п, Хх, Х 2, ..., Х п;

многократное повторение процедуры на различных вариантах последовательностей Х і{, Хг-2, ..., Х іп из случайно перетасованных

Хі с целью выбора наиболее воспроизводимых результатов разбиения. З а м е ч а н и е 2. В целях ускорения сходимости описанной про цедуры целесообразно воспользоваться частичными обучающими выборками для образования «нулевого приближения» Z<°> центров тя

жести классов по правилу

Z(°) = (Z10, Z20, ...,ZSi0),

где

Zio = X, = - L У Х н (/ 1, 2...... s) m

средние арифметические, построенные по наблюдениям 1-й частичной обучающей выборки. Соответственно k (0) = s. После этого проводят

ся все	необходимые	циклы этапа А и подсчет Сгі (0) і, j	= 1,2,	.... s
до тех	пор, пока не	окажется выполненным соотношение	(1.13),	либо

не останется всего лишь один класс. Затем извлекается наблюдение

Х 1 и выполняются все	необходимые вычисления (ѵ + 1)-го шага про
цедуры при V = 0 и т.	д.

2. О некоторых свойствах, используемых в процедуре статистик

Следующие результаты поясняют смысл описанной процедуры клас сификации и использованных в ней статистик и процентных точек.

Л е м м а 1. Оценкой максимального правдоподобия (с устранен ным смещением) для S по совокупности квазиобучающих выборок яв ляется матрица вида

		s	т I
			2			и , , - * , ) -
		I = 1/ = 1
		у _		1	V 1	у
		Л1—		----	/Г ,	ЛЛ>
				пц	/Г ,
где т = 2	Щ-
і= і	2, Статистика	(т—s )2			может быть представлена в виде
Л ем м а	2, Статистика	(т—s )2			может быть представлена в виде
				т — s
	(/71 -5)2=			2	YkY'k,
				k =	\
где Yh независимы и Yk £ N (0,				2 )	Для	&= 1. 2, ...,	т —s.
Л е м м а	3. Пусть Y —(Хг — Xj), где
причем	Уі	I = і				k= 1
причем	Xri 6 N (аГ[,		2),		X„h 6 N (a.qh, 2)-
	Xri 6 N (аГ[,		2),		X„h 6 N (a.qh, 2)-
Тогда —	— И' 2 - 1F подчинено				нецентральному		/•’-распределе-
Ѵі + Vj						нецентральности
нию Fx (p, т —s —p~h 1), где параметр						нецентральности
	Vi+Vj	/= 1				Ч	X
						Ч
					'k=l
		V ;
	X	I = I				*4
		I = I			J k=i

А„, в (а, ß, К),

В частности, когда все аГ[ и аЧк равны между собой, то распределение центральное, т. е. X = 0.

Для доказательства сформулированных лемм достаточно восполь зоваться приемами и результатами работы [1], и в частности: в лемме 1 составить функцию правдоподобия и воспользоваться леммами 3.2.1— 3.2.3 [ 1, с. 66—691; в лемме 2 при анализе блочно-диагональной матрицы ортогонального преобразования, переводящего X jt в Уг, воспользо ваться теоремой 3.3.1 и леммой 3.3.1 [1, с. 74—75]; в леммеЗ восполь зоваться нашей леммой 2 и теоремой 5.2.2 из [1, с. 148].

В конечном счете исследователя, естественно, интересуют характе ристики качества описанной процедуры и в частности:

насколько точно число классов k («), полученное в результате нашего алгоритма, характеризует истинное число классов kn, представ ленных в последовательности {Xj}?

какова доля неправильно расклассифицированных объектов, а точнее — вероятность неправильной классификации в данном алго ритме?

Ответы на поставленные вопросы можно было бы получить с по мощь ю анализа вероятностей

	k (и)	1 < е
	I	1 < е
	I
	где е — некоторое фиксированное положительное число и
	Р (i I І) —	і ^ 1, 2, ..., hn.

а и — вероятность того, что наблюдение, принадлежащее к і-му клас су, будет отнесено, в результате применения нашей процедуры, имен но к этому, г-му классу. Сформулированные выше свойства использу емых в данной процедуре статистик должны помочь нам в этом анали зе. В частности, интересно было бы получить описание функции Ал,е (а, ß, К) в оценке вида

Р k (п) j

где а — введенный ранее уровень используемой в процедуре процент ной точки ^’-распределения, К — максимальное число классов, из которых извлекаются наблюдения {Х;}, п — общее число наблю дений, подлежащих классификации,

ß = P{Fupo) (р, m — s— p + l ) < F a(p, т —s —р-\- 1)},

р0= min р (öj,	aj),
I«Гг, / </С	f -распределенной случай
а К (ро) — параметр нецентральности	f -распределенной случай

ной величины, — некоторая известная монотонно возрастающая функ

ция аргумента р0.

При этом, очевидно, ß = ß (р0)-монотонно убывающая (до нуля)

функция ро,		а А„, 8 (а,	ß, К) — монотонно возрастающая	функция
по а,	ß и К,	и монотонно убывающая функция по е и п. Если		Ап, е (а,
ß, К)	0 при л -+ оо и при любых фиксированных е, а, ß			и К, то
естественно		называть	соответствующую процедуру классификации
/^-состоятельной.

Смотрите также файлы

Алферова, З. В. Математическое обеспечение экономических расчетов с использованием теории графов.pdf

Бирзниекс, Л. В. Импульсные преобразователи постоянного тока.pdf

Бронский, А. И. Основы выбора конструкций корпуса судна.pdf

Будин, А. Я. Тонкие подпорные стенки.pdf

Бурштейн, Г. Я. Экономика обогащения углей.pdf

Файл: Айвазян, С. А. Классификация многомерных наблюдений.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно