Файл: Шаталов, В. А. Применение ЭВМ в системе управления космическим аппаратом.pdf

Требуемое быстродействие ЦВМ или непосредственно вычис­ лителя определится соотношением

Оценив потребный объем памяти и быстродействие, для реше­ ния каждой из задач необходимо построить сводные временные характеристики загрузки вычислителей. На основании этих харак­ теристик для более рационального использования аппаратуры космического аппарата необходимо откорректировать программы полета, а затем уточнить временные диаграммы.

После этого составляется сводная диаграмма фаз и потреб­ ностей каждой из фаз по памяти и быстродействию. Наиболее нагруженные фазы и определят (с учетом необходимого резерва) требования к БЦВМ. В табл. 7.2 представлены суммарные потребности по памяти и быстродействию для фаз полета к Марсу [15].

173

7,2. ОЦЕНКА ТРЕБУЕМОЙ ТОЧНОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ВЫБОР РАЗРЯДНОСТИ ЦВМ

Одной из важнейших характеристик БЦВМ является длина кода и разрядность машинного слова.

Разрядность определяется следующими факторами: •— точностью решаемых на борту задач;

— характеристиками входной информации, поступающей для хранения и обработки;

—требуемой разрядностью команд;

—требованиями по быстродействию и массе оборудования.

Рассмотрим задачу выбора разрядности. Предположим, что при помощи БЦВМ реализуется управляющая функция

от поступающих на ее вход аргументов хи х2, .. ., хп. Общая ошиб­ ка на выходе БЦВМ определяется неточностью математического описания (например, линейной аппроксимацией нелинейной за­ висимости) физического процесса, реализуемого при помощи алгоритма БЦВМ, трансформированной ошибкой, зависящей от вида функции f(xit х2, .. хп) и ошибок аргументов на входе БЦВМ и инструментальной ошибки цифровой машины [3].

Перечисленные ошибки независимы, следовательно, для БЦВМ можно составить баланс ошибок, описываемый выраже­ нием

(7. 14)

где оу — среднее квадратичное значение ошибки на выходе БЦВМ; сгы — средние квадратичные ошибки математических аппроксимаций; от — среднее квадратичное значение трансфор­ мированной ошибки; (ти — среднее квадратичное значение инст­ рументальной ошибки ЦВМ.

Проанализируем составляющие соотношения (7. 14). Ошибка математических аппроксимаций обусловлена тем, что управляю­

близкого к этой функции аналога f*(xu х2, . . ., хп), алгоритми­ чески реализуемого в вычислителе. Трансформированная ошибка зависит от неточности входных величин и вида преобразующей функции f(x 1, х2, . , ., х„). Значение трансформированной входной ошибки определяется соотношениями

174

если величины X j и x h коррелированы, и

в случае независимости этих величин.

В выражениях (7.15, 7. 16) — j — среднее квадратичное значение ошибок аргумента х, на входе БЦВМ, rik — коэффи­ циент корреляции величин Xj, Хъ.. Величина aBxj в свою очередь определяется соотношением

преобразователя. Ошибки квантования преобразователя связаны с его разрядностью. Пусть каждой величине Xj соответствует свой преобразователь непрерывной величины в дискретную и уровень квантования /-го преобразователя равен Дх^. Ошибки

Разрядность же Rj преобразователя можно определить из соот­ ношения

• * 7 m a x х 3m in *2,^3 j

Точность работы непосредственно ЦВМ (инструментальная ошибка) сги определяется совокупностью таких характеристик, как разрядность преобразователей, разрядность запоминающих устройств и операционного устройства и количеством разрядов, необходимых для представления выходных величин с требуемой точностью [3].

Разрядность запоминающих устройств во избежание потери информации должна быть не ниже разрядности любого из пре­ образователей, т. е.

Разрядность операционного (арифметического) устройства может быть записана как

где R4 — разрядность чисел, вводимых в ЦВМ;

175

S — количество дополнительных разрядов для компенсации ошибок округления.

В свою очередь разрядность чисел, вводимых в машину, опре­ делим разрядностью преобразователя. Значение 5 можно подсчи­

тать, исходя из следующих рассуждений.

Инструментальная ошибка (7.14) зависит от разрядности операционного (арифметического) устройства, т. е. от накопления ошибок округления. Можно считать, что ошибка однократного округления сгокр распределена по равновероятному закону в пре­ делах от минус половины до плюс половины единицы младшего разряда, т. е.

~mfx — ед. младшего разряда,

юкр

а ее среднее квадратичное значение равно

При независимых однократных округлениях средняя квадра­ тичная инструментальная ошибка сти для последовательности «-вычислений равна

или

ед. младшего разряда.

Для компенсации накопления ошибок округления необходимо ввести дополнительное число разрядов

Таким образом, может быть определена общая разрядность операционного устройства. Разрядность выходных устройств RBЫх обычно выбирают равной разрядности входных преобразователей

изапоминающих устройств. В результате, используя уравнение баланса ошибок и зная общие требования, предъявляемые к ау,

ивычислив значения ом и сгт, можно определить аи, а следова­ тельно, и минимально требуемую разрядность.

Анализ точности решения различных задач на борту показал [1], что можно выделить две существенно различающиеся группы задач, требующие различной точности и соответственно разряд­ ности ЦВМ. При решении задач типа навигации требуемая точ­ ность колеблется в пределах от 27 до 32 разрядов. При решении

176

задач управления функционированием требуемая длина машин­ ного слова не превышает 15 разрядов. При представлении чисел с фиксированной запятой максимальная точность представления чисел

где п — число разрядов, отведенное под мантиссу числа.

Если выбрать разрядность БЦВМ, учитывая самые жесткие требования, возникающие при решении задач навигации, то необ­ ходимо выбрать машинное слово, имеющее от 27 до 32 разрядов. Однако в этом случае увеличивается масса оборудования и уменьшается быстродействие за счет увеличения времени про­ бега сигнала переноса в арифметическом устройстве БЦВМ. Одним из путей разрешения данного противоречия является выбор машинного слова, удовлетворяющего основным требова­ ниям, и использование для решения задач, требующих повышен­ ную точность, специальных программ вычислений с повышенной точностью, отводя при этом для хранения каждого числа не одну, а несколько ячеек.

Рассмотрим принцип построения алгоритма сложения чисел с повышенной точностью в ЦВМ с фиксированной запятой. Пусть мы имеем два числа А и В, размещенные каждое в двух ячейках памяти, и А с и Вс и Вы— части чисел А н В, содержащие старшие и младшие разряды соответственно. Пусть результат А' также должен быть получен с двойной точностью и состоит из Хс и Ам, тогда для сложения или вычитания

(7. 26)

где р — единица переноса при вычислении Хж.

При выполнении сложения и вычитания могут быть исполь­ зованы два способа представления результата:

—знак числа единый для частей числа, хранящихся в раз­ ных ячейках;

—каждая часть числа может иметь свои знаки.

При сложении и вычитании чисел с повышенной точностью каждая со­ ставляющая может получить свой знак. Будем обозначать числа следующей записью: А = + 4 3 = [ + 4 , +3]. Тогда при Л = +43 и В = —28

[+4, +3]+[—2, —8 ]= [+ 2 , —5 ]= [+ 1, +5].

Этот пример показывает, что в первом способе — использовании одного знака для всех составляющих числа при выполнении операций сложения и вычита­ ния потребуется проводить дополнительные преобразования.

Для того чтобы сократить количество операции, необходимых для обра­ ботки данных с двойной точностью, используется второй способ, при кото­ ром каждая часть числа имеет свой знак. В этом случае любое число может быть представлено двояко