Файл: Шаракшанэ, А. С. Испытания сложных систем учеб. пособие.pdf

то общее число инверсий молено найти следующим образом:

п т

На основании этих асимптотических соотношений нетрудно рас­ считать приближенное значение Uр.

Однако при практических расчетах для нахождения t/p по за­ данному |3 в работе [39] рекомендуется использовать более точную аппроксимацию, приводящую к уравнению

где ^(Р ) — значение функции нормального распределения с пара­ метрами '(0,1).

вполне достаточной [39].

С .помощью статистики U и значений U$, соответствующих за­ данному уровню значимости р, можно сформулировать односто­ ронний критерий Уилкоксона. Согласно этому критерию, нулевую гипотезу Н0: Fx(x) = F2(z) нужно отвергнуть, когда на самом деле гипотеза Я0 верна, в том случае, если количество инверсий U больше рассчитанной .допустимой границы мр.

Сравнивая асимптотическую эффективность одностороннего критерия Уилкоксона с /-критерием, можно показать, что критерий Уилкоксона требует по сравнению с /-критерием несколько боль­ ших объемов выборок. Например, если Fx{x) и F2(z) распределены по нормальному закону с одинаковой дисперсией и критерий Уил­ коксона применяют к выборкам объема п ит, а /-критерий Стьюдента — к выборкам объема п' и т', то равные мощности рангового кри­

—Цр {Uр — верхнее критическое еначение), то говорят, что нулевая гипотеза об однородности распределения выборок х х, х2, ..., хп; z u

159

z2, ...,zm справедлива при ее проверке на основании двустороннего критерия Уилкоксона.

Проверка гипотез об однородности распределения двух выборок достаточно проста и может быть реализована при полном отсутст­

испытаний и моделирования сложных систем. Недостатки критерия Уилкоксона проявляются при больших объемах выборок и связаны с трудностями определения общего числа инверсий. В этих случаях целесообразно использовать быстродействующие ЭВМ.

Пример 1. Пусть в результате моделирования и натурных испытаний получе­ ны две выборки: xt, х2, . . . . хп; Z\, z2, . . . , z m, относительно которых сформу­ лировано предположение, что они имеют одинаковые функции распределения. Необходимо проверить это предположение.

Проверку предположения будем осуществлять на основании двустороннего критерия Уилкоксона.

Следуя процедуре проверки, описанной в данном параграфе, для случайных

то проверяемую гипотезу об однородности выборок на основании одностороннего

Итак, в рассматриваемом примере критерий Смирнова и критерий Уилкоксона приводят к одному и тому же заключению: выборка результатов моделирования однородна выборке, полученной в процессе натурных испытаний.

принадлежности этих выборок одной генеральной совокупности.

§ 7.5. ОЦЕНКА КОРРЕЛЯЦИОННЫХ МОМЕНТОВ И КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИИ

В ходе проведения измерений при испытаниях можно получить статистическую совокупность, состоящую из ряда соответствующих друг другу значений двух и большего числа случайных величин. При этом между рассматриваемыми случайными величинами может

160

быть зафиксирована не однозначная функциональная зависимость, а сложная стохастическая связь, проявляющаяся в том, что измере­ ние одной из случайных величин приводит к изменению закона рас­ пределения второй случайной величины. Наиболее простым и важ- 'ным для практики случаем стохастической связи является корре­ ляционная зависимость.

Коэффициент корреляции представляет собой второй корреля­ ционный момент для нормированных случайных величин. Так, коэф­ фициент корреляции для двух случайных величин х и у может быть представлен в виде

При этом prey достигает значения ±1 лишь тогда, когда имеет место точная функциональная зависимость. Таким образом, с помо­ щью коэффициента корреляции можно оценить степень близости корреляционной зависимости к функциональной.

Второй корреляционный момент Кху (смешанный момент слу­ чайных величин х и у) характеризует рассеивание величин х и у и связь между ними. Значение Кху можно получить по данным сово­ купности наблюдений, применив формулу:

П

Кху= ■п^_— 2 с*/- т х){у1-т*у).

Вобщем случае, если имеет место система случайных величин

хи х2, ..., хт и проводится обработка данных, состоящих из резуль­ татов измерений при п независимых наблюдениях, то для вычисле­ ния элементов корреляционной матрицы можно воспользоваться формулой:

Полученные таким образом корреляционные моменты можно представить в виде корреляционной матрицы:

161

В этой матрице по главной диагонали расположены дисперсии каждой из случайных величин. Действительно,

П

Оценки элементов нормированной корреляционной матрицы можно подсчитать по формуле:

где S k и Si — оценки среднего квадратического отклонения, полу­ ченные по данным наблюдений.

Стохастическая связь между средними значениями случайных величин х и у может быть охарактеризована в виде линейных урав­ нений регрессии, которые обычно записывают в виде:

* М*п / *\

у — тв= - ^ - { х — тх)\

(у — т1У

где

П

п

п

п

п

/-1

Величины

162

называют коэффициентами регрессии.

Коэффициент регрессии выражают через коэффициент корреля­ ции так:

Среднее квадратическое отклонение эмпирического коэффициен­ та регрессии

Используя приближенное выражение для среднего квадратиче­ ского отклонения эмпирического коэффициента регрессии, можно представить доверительный интервал для Ь*у/Х:

где а — коэффициент, зависящий от уровня доверительной вероят­ ности Р и определяемый из соотношения: Р = 2Ф(а).

С целью построения доверительного интервала для коэффици­ ента корреляции также можно воспользоваться выражением

При анализе полученных результатов возникает необходимость проверки значимости вычисленных но данным наблюдений коэф­ фициентов корреляции.

Пусть надо проверить гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции, что в случае нормальной корреляции равносильно про­ верке утверждения о независимости рассматриваемых случайных величин.

Для решения этой задачи полученный эмпирический коэффици­ ент корреляции сравнивают с критическим значением, определя­ емым для заданного уровня надежности.

Если полученное эмпирическое значение р* больше граничного значения, т. е.

I Р* I > Ур*>

то гипотезу о равенстве нулю коэффициента корреляции следует отбросить.

163