Файл: Степчков, А. А. Задачник по прикладной гидрогазовой динамике учебное пособие.pdf

Г л а в а VI ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЕ ПОДОБИЕ И МОДЕЛИРОВАНИЕ

Несмотря на развитую теорию, солидный математический аппа­ рат, применяемый при решении газодинамических задач, тем не менее, часто встречаются задачи, в которых не удается преодолеть возникающие математические трудности, а иногда не удается даже составить уравнения, описывающие интересующий нас процесс. Во всех этих случаях приходится прибегать к постановке экспери­ ментальных исследований. Проводить такие исследования на на­ турных образцах неразумно, так как это дорого и зачастую практи­ чески неосуществимо. На помощь тогда приходит теория подобия, которая устанавливает связь между физическими величинами для натуры и модели и определяет условия проведения эксперимента.

Простейшим видом подобия является геометрическое подобие, которое хорошо разработано еще со времен Эвклида. В понятие гидродинамического подобия также включается кинематическое подобие, или подобие траекторий движения частиц жидкости, и динамическое подобие, устанавливающее пропорциональность сил, действующих на подобные частицы.

Отношения однородных физических величин, постоянные в лю­ бых сходственных точках подобных потоков, называются коэффи­ циентами подобия.

В гидродинамике основным уравнением, устанавливающим связь между кинематическими и динамическими величинами для реальной жидкости, является уравнение Навье-Стокса. Приводя это уравнение к безразмерному виду с помощью введения в рас­ смотрение характерных величин — скорости w0, линейного размера Ь0, давления р0, силы Х0 и времени процесса /о, получим под знаком дифференциала величины, выраженные через коэффициенты подо-

'бия, а перед каждым членом уравнения Навье-Стокса безразмер­ ные комплексы.

Если безразмерные комплексы в уравнении Навье-Стокса для натуры и модели выдержать одинаковыми, а остальные величины выражены через коэффициенты подобия, то решение уравнения Навье-Стокса в этом случае будет одинаковым для натуры и моде­ ли. Безразмерные комплексы являются критериями подобия.

106

Критерий гидродинамической гомохронности процесса (критерий Струхаля)

Однако приведенные критерии подобия не исчерпывают всех случаев подобия, с которыми приходится встречаться при решении газодинамических задач. Другим наиболее общим уравнением газодинамики, учитывающим и тепловые процессы, происходящие в жидкости при ее движении, является уравнение энергии. Так для плоской задачи установившегося течения при ср= const и коэффи­ циенте теплопроводности А= const уравнение энергии запишется:

Если это уравнение также привести к безразмерному виду, ис­ пользуя те же характерные величины, дополненные характерным перепадом температур AT — To-—'T w, и затем поделить все урав­ нение на размерный множитель левой части, тогда получим урав­ нение энергии в безразмерном виде, решения которого будут одинаковыми и для натуры и для модели, если безразмерные комплексы при производных правой части уравнения будут одина­ ковыми для натурного процесса и для смоделированного процесса. Безразмерные комплексы правой части получаются такими:

107

Эти безразмерные комплексы являются комбинацией критериев подобия. Так первый комплекс (6. 6)

как видно, является комбинацией критерия Прандтля и числа Рей­ нольдса. Критерий Прандтля можно записать через коэффициент температуропроводности а

Произведение критерия Прандтля на число Рейнольдса дает новый критерий подобия — Пекле, который используется при мо­ делировании процессов теплообмена.

Третий комплекс (6. 6)

не приводит к новым критериям подобия.

Необходимо отметить, что при записи уравнения Навье-Стокса из массовых сил мы учитывали только силы тяжести и это привело к появлению критерия Фруда. Если же рассматривать движение жидкости в среде с заметной разностью в плотностях, то необходи­

который необходимо учитывать при моделировании гидродинами­ ческих процессов с большой разностью температур потока и окру­ жающей среды, р — коэффициент объемного расширения.

108

характеризует отношение силы Архимеда к силе вязкости и назы­ вается критерием Грасгофа.

Эти критерии подобия должны быть дополнены критерием, ха­ рактеризующим масштаб турбулентности,

WQ

Хотя критерии подобия — безразмерные величины, однако каж­ дый имеет определенный физический смысл. Так критерий Эйлера характеризует отношение силы давления к силам инерции в потоке

рдо2 ЛМ'-’

Бели испытание модели происходит в потоке тех же физических свойств, что и натурного объекта (/tM= &„), то в этом случае ра­ венство чисел М в модельном и натурном процессах равнозначно равенству критерия Эйлера в обоих процессах.

Критерий Рейнольдса является мерой отношения сил инерции к силам вязкости.

Критерий Фруда — мерой отношения сил инерции к силам тя­ жести в однородном потоке.

Критерий гидродинамической гомохронности процесса исполь­ зуется при рассмотрении нестационарных процессов. Он является мерой отношения локальной силы, вызванной неустановившимся движением, к силе инерции.

Критерий Прандтля является мерой подобия температурных и скоростных полей в потоке. Критерий Пекле есть мера отношения молекулярного и конвективного переноса тепла в потоке.

Критерий Архимеда есть мера отношения силы Архимеда к силе тяжести. Критерий Грасгофа является мерой отношения силы Ар­ химеда к силе вязкости.

109

Температурный критерий 0 характеризует отношение прироста температуры при торможении потока к избыточной температуре потока. Конечно, это не все критерии подобия, с которыми прихо­ дится встречаться на практике.

Легко убедиться, что соблюсти равенство всех критериев подо­ бия для натурного и модельного объекта почти невозможно. Поэтому приходится довольствоваться не полным, а частичным подобием, при этом надо иметь в виду, что влияние каждого крите­ рия подобия в исследуемом диапазоне сказывается неодинаково.

Наибольшее число безразмерных комплексов П, характеризую­

п— число размерностей.

Втеории подобия широко используется метод исследования,

основанный на теории размерностей. С помощью теории размер­ ностей удается получить уравнения для таких процессов, которые не поддаются изучению с помощью иных методов. Теория размер­ ностей позволяет найти из размерных величин правильное сочета­ ние безразмерных комплексов, характеризующих изучаемый про­ цесс. В основе теории размерностей лежит решение простых уравнений размерностей, которые проще рассмотреть на примере.

Пусть требуется найти выражение для силы лобового сопро­ тивления тела конкретной формы. Будем считать, что

ные особенности обтекаемой поверхности тела. Из уравнения раз­ мерностей найдем показатели степени а, р, у, 6

т ч ^ т У ш ^ *

или

кг1■м1■с~- = кг* 'т л -а*+13-t+sc~P-t.

Показатели степени у одинаковых размерностей в обеих частях равенства должны совпадать. Поэтому можно написать такие урав­ нения:

а + V = 1; — За + р — у + 6 = 1; — р — у = — 2.

110