Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

Пусть, например, двумерная нелинейная функция имеет вид

Определим теперь характеристики (33) и (34) нелинейной системы (32). Усредняя уравнение (32) по совокупности, получим дифференциальное уравнение относительно математического ожи­ дания вектора Jt (t):

и принимая во внимание формулу (51), получим дифференциальное уравнение относительно матрицы корреляционных функций век­ тора X (t):

ѵ.'ЦЗЕЬ'ІПГЯР

Так как автокорреляционные функции составляющих вектора X (t) симметричны относительно плоскости, проходящей через биссектрису координатного угла и ось ординат, а их взаимные корреляционные функции обладают свойством

kxtXj {t\> к) — kх .х. (t2, к)>

то для определения матрицы корреляционных функций Кх (tь і2) достаточно решить уравнение (52) в области, где t2■Но при t> 12 второе слагаемое в правой части уравнения (52) равно

k > t 2.

Для решения уравнения (53) необходимо вычислить среднее значение правой части уравнения и задать значения корреля­ ционной матрицы вектора х (t) на границе области интегрирова­

Для определения математических ожиданий в уравнениях (53) и (55) предположим нормальным двумерный закон распределения вектора х (t). Тогда, используя выражение (39), уравнение (55)

торного нелинейного элемента (35) по случайной составляющей вектора на входе, которая при нормальном распределении век­ тора X (t) зависит от вектора тх и дисперсионной матрицы Dx.

18

Нетрудно показать, что при двумерном нормальном распреде­ лении вектора х (t) матрицы взаимных корреляционных функций векторов на входе и выходе нелинейного элемента (35) опреде­ ляются равенствами:

= Kx (h, t2)K\{k).

Для доказательства справедливости равенств (57) рассмотрим векторную нелинейную функцию размерности п, которая имеет вид

где ф (х, П) и Ф (х, t2) — одинаковые векторные нелинейные функции типа выражения (35); и — вектор размерности 2п, ком­ понентами которого являются векторы х (к) и х (t2):

где I КиI — определитель корреляционной матрицы вектора и;

Ки1 — обратная корреляционная матрица того же вектора. Заме­ тим, что корреляционная матрица вектора и на основании фор­ мулы (59) выражается через матрицу корреляционных моментов и корреляционных функций вектора х (t). В самом деле,

Дифференцируя по mu математическое ожидание нелинейной функции (58), выраженное через плотность распределения (60), по аналогии с формулой (44) получим матрицу эквивалентных

статистических коэффициентов усиления этой нелинейной функ­ ции по случайной составляющей вектора и:

которая на основании формулы (58) имеет вид

где Кі (ti) и Ki (f2) — матрицы эквивалентных статистических коэффициентов усиления нелинейного элемента (35) по случай­ ным составляющим векторов х (ti) и х (f2) соответственно.

Запишем матричное равнество (62) в следующей форме:

Предположим теперь, что нелинейная функция (58) зависит только от вектора х (fj), тогда Ki'(t2) в равенстве (63) равна нулю. Принимая во внимание формулу (61) и используя выражение (64), получим

Но при нормальном распределении вектора х (П)

Ki (fa) К» (fa, f2) = М [ф (х, fa) X* (f2)],

что доказывает справедливость первого равенства формулы (57). Транспонируя равенство (64) и предполагая, что нелинейная

функция (58) зависит только от вектора х (f2), получим

На основании транспонированного равенства (39) матричное равенство (66) выполняется, если

Кх (fi, f2) Kl (f2) = M lx (fi) ф* (х, f2)l,

что доказывает справедливость второго равенства формулы (57). Принимая во внимание выражение (57), уравнение (53) запи­

шем в виде

В отличие от линейных систем, для. которых математическое ожидание и дисперсионная матрица вектора фазовых координат определяются из независимых уравнений, уравнения (50) и (56)

20