Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 67

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

шумом £ (t) с интенсивностью Q = dz. Передаточная функция формирующего фильтра W2 (р) при этих условиях на основании формулы (25) имеет вид

и м р ) =

Т’гР + 1

(26)

 

где

С учетом принятых на рис. 1 б, обозначений и передаточной функции (26) эквивалентную систему можно описать следующими уравнениями:

= j r - [ - * 1 (0 - ф (*і) + *2 (0 + /■(01;

1 и = т ; 1~ х2 {t) + k&(01; *2 (0) = *0*.

где ф (хх) — характеристика безынерционного нелинейного элемента; х02 — центрированная случайная величина с дисперсией, равной dz.

а)

б)

Рис. 1. Структурные схемы нелинейной системы:

а — исходная; б — эквивалентная

Предполагая совместный закон распределения хг (t) и х2 (t) близким к нор­ мальному и используя формулу (27), получим уравнения для определения мате­ матического ожидания и дисперсии процесса на выходе исследуемой системы в переходном режиме:

=

Т\

 

'щ (<) — фо (mi’ dii) + r (<)l;

^ll =

{

[* + ^1(2) (ml, ^ll)] ^ll (0 + ^12 (0}>

 

 

 

(28)

^i2 = ~~ I

 

 

(mu ^11)]} di2 (0 + -jt d22(0;

•

 

Qk2

2

^22 =

7^2

(0> d22(0) —afz.

 

 

' 2

12

Рис. 2. Структурная схема ста­ ционарной нелинейной системы

Последнее уравнение системы (28) решается независимо от других и при за­ данных начальных условиях имеет постоянное решение d22 = dz, что позволяет упростить систему уравнений (28), которая в окончательной форме имеет вид:

 

= - f l

I-

(0 — Фо (щ , du) + г (01;

du =

 

t 1+

М2) (mi, du)] dn (0 + d12 (0);

42-

{^2

7^ f1^ ^ 2) ^ 1’ rfu)]} dl2 ^ + Ti dz.

Пример 2. Нелинейная стационарная система, приведенная на рис. 2, воз­ мущается стационарным белым шумом £ (t) с интенсивностью Q. Предполагается, что нелинейный элемент имеет нечетную характеристику.

Определим приближенно дисперсию про­ цесса на выходе системы в установившемся состоянии.

Исследуемая нелинейная система описы­ вается дифференциальным уравнением

х (0

1

(29)

[ £ ( 0 - * ( 0 - ф ( * ) Ь

Так как среднее значение процесса на входе равно’ нулю, а нелинейный элемент имеет нечетную характеристику, то среднее значение процесса на выходе также равно

нулю. Предполагая закон распределения х (t) близким к нормальному и исполь­ зуя формулу (24), получим уравнение для приближенного определения диспер­ сии процесса на выходе системы в установившемся состоянии:

Т ~ 2 № ](dx) + l]dx = 0.

(30)

Пусть характеристика нелинейного элемента

Ф (X) — ах3 (0

при нормальном распределении х (і) и среднем его значении, равном нулю, имеет коэффициент k[2\ выражаемый через дисперсию

kf'i = Зои^

(31)

Подставляя выражение (31) в формулу (30), получим квадратное уравнение относительно dx:

6ad2x + 2dx -------

= 0,

решая которое, определим значение дисперсии процесса на выходе в установив­ шемся состоянии:

13

2. Метод определения характеристик многомерных нелинейных систем

Рассмотрим многомерную нелинейную систему, которая в век­ торной форме описывается уравнением

% = Ф (X,

t) + В, (t)

r(f) + B

(t) I (t), * (0) = x 0,

(32)

где X (t) — вектор

фазовых

координат

системы размерности

л;

Ф (х, t) — векторная нелинейная функция размерности л; %, (t) — распределенный нормально векторный белый шум размерности лг; У (t) — векторное неслучайное воздействие размерности /; х^ — распределенный нормально вектор начальных условий, некорре­ лированный с возмущающим воздействием; В г (t) — прямоуголь­ ная матрица переменных коэффициентов размерности [л, /]; В (t) — прямоугольная матрица переменных коэффициентов раз­ мерности [л, т].

Используя метод статистической линеаризации, определим

приближенно математическое

ожидание вектора

 

тх (і)

= М [х (t) ]

(33)

и матрицу корреляционных функций этого вектора

 

Kx (tu ta) =

М и°(П)х* (/а)].

(34)

Рассмотрим статистическую линеаризацию векторных нели­ нейных функций, которую будем использовать при определении характеристик нелинейной системы (32). Нелинейное преобразо­ вание между векторными случайными функциями z (t) и х (t) задано в форме

z (f) = ф (х, t),

(35)

где z (t) — векторная случайная функция размерности л; х (і) — вектор случайных аргументов размерности л; ф (х, t) — вектор нелинейных функций.

Аппроксимируем векторное нелинейное преобразование (35) приближенной линейной зависимостью между случайными векто­

рами z (t) и х (t), которую представим в форме

 

2л (і)

= Фо + К , Х (t),

(36)

где фо — математическое

ожидание нелинейной функции

(35);

К 1 — прямоугольная матрица эквивалентных коэффициентов уси­ ления нелинейного элемента по случайной составляющей вектора X (t) размерности [л, л].

При аппроксимации нелинейной функции (35) линейной функ­ цией (36) будем исходить из минимума среднего квадрата откло­ нения векторов z (t) и z„ (t), т. е. потребуем минимума выражения

Е = М [{z (t) — Фо — КгХ (£)}* {z (t) — фо—

 

— KiX (t)\] — min.

(37)

14

Значение (37) будет минимальным, если выполняются условия:

 

дЕ

_

п

дЕ_

 

 

 

 

0Фо

-

U>°>

дКгdKt ~~

 

 

 

где оператор

д

 

 

 

 

 

 

размерности п,

0ф0 представляет вектор-столбец

компонентами

которого

являются

д%і '

1,

2, .

п\ опе-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ратор -щ- является прямоугольной матрицей размерности

[п, п\

с элементами

^т—, / , / = 1 , 2 ..........п.

 

 

 

 

0&іj

 

 

 

 

по ф0 и

приравнивая

произ­

Дифференцируя выражение (37)

водную нулю,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дЕ =

—2М [Z(/) — фо] =

О,

 

 

 

д%

 

 

 

 

 

 

 

 

откуда имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Фо = М

Іг (/)] =

М [ф (х,

/)!•

 

(38)

Выполняя дифференцирование выражения (37) по К і

и при­

равнивая производную нулю, получим

 

 

 

ЛF

 

 

о

 

 

о

о

(/)]} = О

■щ = —2 {М [г (t) X* (t) 1 — КхМ Ix (t) X*

или

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KxDx =

М [ф (х, /) X* (/)],

 

(39)

где Dx — дисперсионная

матрица

вектора

х (/),

которая опре­

деляется выражением

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dx = М [°х (0

X* (/)]•

 

 

 

Из равенства (39) получаем выражение для матрицы экви­ валентных коэффициентов усиления нелинейной функции (35) по

случайной составляющей вектора х (/):

 

Кі = М [Ф (х, 0 X* (/)] D71.

(40)

Выражения (38) и (40) для определенного вида нелинейной функции можно вычислить, если известен закон распределения вектора х (/). Особый практический интерес представляет стати­ стическая линеаризация нелинейной функции (35) при нормаль­ ном распределении вектора х (/), плотность распределения кото­ рого выражется формулой [59]

pit, х)

ехр ---- = (х — т Д * Д /( х —тД 1,

(41)

<2я)л /2 D,

 

 

 

где \DX \ — определитель дисперсионной

матрицы вектора

х (/);

тх — математическое

ожидание вектора

х (/); (х — тх) — цен-

трированный вектор

О

 

 

х (/).

 

 

15

Используя выражение (41), математическое ожидание вектор­ ной нелинейной функции можно определить по формуле

со

 

Фо = I ф (*, t) р (t, х) dx,

(42)

где интегрирование осуществляется по всем составляющим век­ тора X.

Матрицы эквивалентных коэффициентов усиления (40) можно вычислить, используя плотность распределения (41), но если математическое ожидание (38) уже определено, то его можно ис­ пользовать для вычисления матрицы эквивалентных коэффициен­ тов усиления. Дифференцируя равенство (42) по тх и используя формальное тождество

 

 

дф (X + тх, і)

_ дф (х, і)

 

 

 

 

дтх

 

дх

’

 

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

дфо _

м

Гдф(*,

ty

 

дф (х, t)

р (t, х) dx.

(43)

дтх

 

 

дх

 

 

дх

 

 

Интегрируя правую часть равенства по частям и используя

выражение плотности распределения (41), запишем

 

дфр

 

J

 

Qдр{д'х х) dx~

 

дтх

 

 

 

 

СО

 

 

 

 

 

 

 

=

I

cp (х, t) (X— тх)* D~xp (t, х) dx =

 

 

 

=

М [ф (х,t) X (01 Dx 1,

(44)

Сравнивая выражения (40) с (43) и (44), получим формулы для

определения матрицы Кѵ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кг

— ^Фо. .

 

(45)

 

 

 

 

 

 

дтх ’

 

 

 

 

Кг =

М

 

дф (X, t)

 

(46)

 

 

 

дх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула (45) оказывается очень удобной, так как элементы

матрицы К 1 определяются достаточно просто [4, 41]:

 

 

kU ~

дпі

’

^

І — І ’ 2»• • •> п-

(47)

 

 

 

хі

 

 

 

 

 

Выражение (46) целесообразно использовать для вычисления элементов матрицы Кі в случае, когда нелинейная функция (35) является полиномом.

16

Смотрите также файлы