Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

где. через I1, £2 и \ обозначены независимые случайные векторы ошибок измерения и начального приближения соответственно.

Компоненты I** и представляют собой ошибки измерения функции F (х) в точках х1 + c;es и х1— c£es. Учитывая ста­ тистическую независимость этих ошибок и предполагая, что

дисперсия ошибок не зависит от х и равна Оі, можно представить разность

- V

в виде случайного вектора £1‘ с статистическими характеристиками

М [1‘} = 0; М [11Ъ1*] = 2о\Е.

Будем предполагать, что статистические характеристики век­ тора начального приближения £ имеют вид

М [|1 = 0; М [|&*] = D E ,

где Е — единичная матрица, D — положительный скалярный параметр.

Рассмотрим итерационную последовательность \х1} в новой системе координат, координаты у в которой связаны с коорди­ натами X старой системы посредством ортогонального преобра­ зования

X = Ау,

где А — ортогональная матрица (А 1 = А*). Тогда последова­ тельность точек \у1\, соответствующая \х1\

X1 = Ау1,

может быть получена на основе рекуррентного соотношения

Способом, аналогичным описанному в п. 1 данной главы, вы­ берем ортогональную матрицу А из условия приведения матрицы A*QA к диагональному виду:

Учитывая диагональность матрицы А и обозначение (305), получим рекуррентное соотношение (304) в форме

Из свойства ортогональности матрицы А и характеристик вектора начального приближения | следует, что статистические характеристики вектора начального приближения у0 в простран­ стве переменных у имеют вид:

М[F (xw)].

Учитывая рекуррентные соотношения (306), некоррелирован­

ность компонент векторов гр и у0, легко доказать некоррелирован­

F (xN) = F (AyN) после совершения N итерации запишется в виде

Таким образом, задача определения наилучших последова­ тельностей {аг} и {с,-} свелась к минимизации функции (308) при наличии связей (307).

Из соотношений (307) и (308) можно увидеть, что уменьшение

параметров с,- приводит к увеличению Of и, следовательно, к воз­ растанию М [F(;cA/)]. Однако обычно не имеется возможности увеличивать ct до бесконечности, так как минимизируемая функ­ ция F (х) только в некоторой локальной области может быть пред­ ставлена квадратичной. Поэтому в дальнейшем примем с,- в виде постоянной величины:

Сі = с, і — 1, 2, . . ., п.

Так как минимизируемая функция F (х) предварительно не­ известна, то естественно рассматривать параметры %s (s = 1, 2, . . ., п) в виде случайных параметров. Предположим, что закон распределения этих параметров одинаков для всех Ks и равен

132

р (X). Тогда из соотношений (307), (308) следует, что задача выбора оптимальной последовательности {аг} в рассматриваемой много­ мерной задаче может быть сведена к выбору оптимальной после­ довательности {<%г} в одномерной задаче минимизации математи­ ческого ожидания функционала

где 0N (X) определяется в результате решения системы рекуррент­ ных соотношений

К сожалению, аналитическое решение этой задачи имеет отно­ сительно простой вид только для неслучайного и известного зна­ чения X = Х0.

Дифференцируя в этом случае уравнение (309) по ah получим

ѲЯо + -2?

Подставляя выражение (311) в формулу (310) и решая рекур­ рентное соотношение, получим

Следовательно, дисперсия после совершения конечной N-й итерации выразится соотношением

Из равенств (311) и (312) следует выражение для элементов оптимальной последовательности |а г}

133

Это выражение было принято за основу для определения квазиоптимальной последовательности {а,-} в задаче (309), (310), когда параметр X случаен и равномерно распределен в интервале (т, М). Легко показать, что эта задача сводится к определению

оптимальной последовательности {а,-} из условия минимума функционала

Характерной особенностью постановки задачи (314) является условие р° = 100, также то, что параметр X равномерно распреде­ лен на отрезке (t, 2 — t), и, следовательно, М [X] = 1. Между параметрами исходной задачи и задачи (314) существует следу­ ющая связь:

Оптимальная последовательность {аг} в соответствии с выра­ жением (312) может быть записана в виде

аі ~ о2 + (і-f 1)х2 ’

где параметр к определяется методом сканирования на отрезке

((; 2 — /) с интервалом А == 1~ *, т. е. всего просматривается

101 точка. При этом в процессе вычисления функционала (314) интеграл заменялся суммой

ShPN (h),

шk=\

где Xk — t - 1- —у — k\ k — 1, 2, . . ., 5. Такое представление инте­

грала соответствует замене исходного непрерывного равномер­ ного распределения дискретным распределением.

134

С помощью прямых расчетов получена зависимость оптималь­

от отношения a2IN = е2. В таблице приложения приведена зави­ симость параметра х от N и t при фиксированном значении е2 =

Параметр k характеризует то значение pN, которое можно было бы достичь при условии t = 1, т. е. при условии точного знания второй производной минимизируемой квадратичной функ­ ции. Указанные таблицы приведены для следующих значений k:

50; 20; 10; 50; 10; 0,1; 0,05; 0,01; 0,005; 0,001. Такой способ пред­ ставления данных объясняется тем, что в некоторых случаях, из­

меняя дисперсию ошибки вычисления значения функции о2, например методом дополнительного усреднения, можно варьиро­ вать число итераций N, так что общее число ^измерений минимизи­ руемой функции остается постоянным:

82 = o2/N = const.

При этом возникает вопрос о том, что более рационально; совершить значительное число итераций с неточной оценкой гра­ диента или небольшое число итераций с уточненными оценками

градиента. На рис. 37 приведены графики зависимости значения р от параметров t и N при различных значениях е2 при оптимальном

выборе параметра х. Параметр е2 на рис. 37, а, б, в соответственно принимает значения 11,1; 1,01; 0,1.

Из этих графиков видно, что уменьшение параметра t, т. е. увеличение степени неопределенности второй производной функ­ ции, приводит к снижению точности метода стохастической ап­ проксимации. С другой стороны, не рационально выбирать слиш­ ком большое значение N, так как это не снижает существенно

дисперсии р, но увеличивает сложность реализации численной процедуры из-за возрастания числа итерации.

последовательности {а,} для общей задачи (307), (308) в предпо­ ложении равномерности распределения параметра (і = 1 , 2 , .. . ,

135