Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

п) на отрезке (т, М), Для этого, задаваясь значениями D , с, оі и N, определим параметр

Параметр k характеризует степень уменьшения дисперсии Of по отношению к Ѳ? в предположении, что значение Я фиксировано

оптимальное значение и. Отсюда можно найти оптимальный вид последовательности {а/}:

(от + М) ^ + 0 + 1) к2]

136

12. Определение градиента в условиях помех

При применении метода стохастической аппроксимации или любого другого метода минимизации функции в условиях помех обычно возникает потребность вычисления оценки градиента минимизируемой функции F (х) или более старших производных в точке очередного приближения х‘. Причем, так как обычно ана­ литическое выражение функций неизвестно, то оценки градиента или вторых частных производных получаются в виде отношения конечных разностей. Рассмотрим случай вычисления первых частных производных функции F (х). Предположим, что функ­ ция F (х) вычисляется на ЦВМ методом Монте-Карло на основе определения среднего значения некоторой функции Ф (х , £), где £ — случайный вектор с известным распределением

F (х) = М [Ф (х, I)].

Функция Ф (х, £), как и F (х), неизвестна, однако в результате моделирования ее значение можно определить для любой сово­ купности (х, £). Будем предполагать, что оценка среднего значе­ ния функции Ф (х, £) производится по т испытаниям. Тогда оценка s-й частной производной функции F (х) будет иметь сле­ дующий вид

Следовательно, с уменьшением А дисперсия оценки частной производной возрастает до бесконечности.

137

ческого моделирования не повлияет на математическое ожидание оценки. Дисперсия оценки будет выражаться равенством

Сравнивая формулы (318) и (319), можно заключить, что при достаточно малом значении А второй метод, называемый методом зависимых испытаний, оказывается более экономичным. В част­ ности, если влияние вектора | в функции Ф (х, £) можно предста­ вить в виде аддитивного слагаемого

Ф(х, I) = ФХ(*) + Ф а (5),

то, как видно из формулы (319), метод зависимых испытаний дает точную оценку частной производной. В монографии Ю. Г. Полляка [76] приведены примеры, иллюстрирующие эффективность применения зависимых испытаний в процессе оптимизации систем.

Для некоторого частного класса задач [6] можно получить еще более экономичное в смысле объема вычислений выражение для градиента функции и матрицы вторых производных, чем метод зависимых испытаний.

Предположим, что минимизируемая функция F (х), как и ра­ нее, вычисляется в виде среднего значения некоторой функции

где плотность вероятности р (£, х) вектора £ зависит от вектора х, а плотность вероятности вектора rj равна / (rj). Относительно функции р (I, х) предполагается выполнение следующих усло­ вий:

1) функция должна быть дифференцируема по всем компонен­ там вектора х при любом значении

2) при произвольных значениях х и | функция р (£, х) =/= 0. Конечно, такие предположения относительно функции Р (Е. х) удовлетворяются не во всех задачах, но практически для

всех интересных случаев можно сколь угодно точно аппроксими­ ровать истинный закон распределения некоторым другим законом, для которого указанные условия выполняются. Заметим, что тре­ буемые условия оказываются выполненными, если вектор £ рас-

138

пределен по нормальному закону, а вектор х характеризует его математическое ожидание:

матрицей по отношению к дисперсионной матрице Ѳ; | Ѳ| — опре­ делитель матрицы Ѳ.

Подобная задача возникает, например, при выборе оптималь­ ных средних значений случайных параметров системы регулиро­ вания, находящейся под воздействием случайного полезного сигнала и помехи. В этом случае вектор а представляет истинные значения случайных параметров в системе. С помощью вектора т] можно представить полезный сигнал и помеху, если воспользо­ ваться методом канонического разложения случайного про­ цесса [82]. Показателем качества работы системы может служить квадрат ошибки в некоторый фиксированный момент времени:

Ф (I, т]) = еа.

Из соотношения (320) следует, что функция F (х) может быть представлена в виде

Для получения частной производной функции F (х) продиф­ ференцируем выражение (322) по х{ и, учитывая сделанные отно­ сительно р (а, х) предположения, получим

В векторной форме это равенство имеет вид

Формула (323) дает возможность свести вычисление градиента функции F (X) к вычислению математического ожидания некото-

139

рои вектор-функции. Это обстоятельство позволяет определять

При проведении расчетов по формулам (324), (325) на ЦВМ основное машинное время, как правило, тратится на формирова­

(324), (325) не намного увеличивает объем расчетов по сравнению

свычислением только функции F (х).

Внекоторых случаях для ускорения сходимости итерационных методов нахождения минимума функции оказывается целесообраз-

ным использовать матрицу вторых производных d2F Выражение

для элементов этой матрицы можно получить дифференцирова­ нием выражения (323) по х;-:

140