Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 98
Скачиваний: 0
Рис. 39. Блок-схема устрой ства управления
При таком представлении информации о состоянии объекта управляющее воздействие может рассматриваться как функционал относительно q (t, х):
и = и [t, q {t, х), —оо < х < о о ]. |
(381) |
Тогда блок выработки управления естественно |
разбивается |
на устройство обработки информации, вырабатывающее апосте риорную плотность вероятностей q (t, х), —оо < х < со, и регу лятор, формирующий управление по закону (381) (рис. 39).
Таким образом, задача обработки данных является неотъем лемой частью задачи оптимального управления при неточных наблюдениях.
Вопросам расчета апостериорного распределения вероятностей для непрерывного марковского процесса, линейной и нелинейной
фильтрации |
посвящен ряд работ [9, 53, 60, 93, 103, 105, 113, |
139, 140]. |
Однако в ранних работах были допущены ошибки |
вследствие пренебрежения членами второго порядка малости. Позднее результаты были уточнены и обобщены на более широкий класс марковских процессов. Здесь будет приведен вывод урав нения в частных производных для апострериорной плотности вероятностей q (t, х) марковского процесса х (t), при наблюде ниях у (і), заданных формулой (376). Как частный случай, будет получен результат Калмана по оптимальной линейной фильтрации.
Рассмотрим допредельную дискретную модель объекта упра вления и измерителя. Для этого вводится дискретное время tk —
— 4-1 + А» где А — малая величина, которая позднее будет устремлена к нулю. Согласно уравнению объекта (342) можно записать
|
*k |
|
|
*k |
|
|
X (4) = X (4_j) -f |
J |
/ [т, X (т), и (т)] dx-ф J |
G(t)£ (т) dx. |
|||
|
lk-i |
|
|
(k-i |
|
|
В соответствии |
со |
свойствами |
нормально |
распределенного |
||
«белого» шума | (і), |
описываемого уравнения_(343), |
процесс |
||||
|
l { t ) = J G (т) і (т) dx |
|
|
|||
|
|
|
t |
|
|
|
распределен также нормально и имеет характеристики |
||||||
|
|
M l (0 = 0 . |
|
|
||
M l (t) l* (t)= |
<+д |
Q (X) G* (t) |
dx- |
|
||
j G (T) |
(382) |
|||||
|
|
|
t |
|
|
|
M l |
(4) |
l* |
(tj) = 0 |
при / ф j. |
|
|
164
Таким образом,
lk
X ( 4 ) = X ( 4 - l ) + |
j / [т, X (т), и ( t ) ] |
dx + |
I ( 4 _ i) . |
||
|
*k-! |
|
|
|
|
Рассмотрим процесс 2 с дискретным временем, который опи |
|||||
сывается разностным |
уравнением |
|
|
|
|
^k-l |
~>~ / |
(4 -1> |
^к-1) ^ |
~4" X/t-l> |
(3 8 3 ) |
где индекс означает |
отсчет времени. Случайный |
процесс хь-і |
|||
нормально распределен и имеет независимые значения. Плот
ность распределения процесса % в момент времени |
4-г |
зададим |
|||
выражением |
|
|
|
|
|
р (4-ь х) |
|
|
X |
|
|
|
|/ '( 2 я ) п | с й_ 1< г ^ 1е ; _ 1 | л |
|
|
||
X ехр |
â~X (G*_iQ*_iöft_i)_1x |
|
(384) |
||
где Gk_x =-- G (4_2); Qk_x =■■ Q (4_x). |
Нетрудно |
видеть, |
что про |
||
цесс с дискретным временем %k является допредельной |
моделью |
||||
процесса £ (/), а процесс zk — процесса х (t), |
так |
что |
|
||
1. |
і. ш. X* = |
I (4); |
|
|
|
|
Д - > 0 |
|
|
|
(385) |
1. |
і. т. zk = |
X (4),. |
|
|
|
|
|
|
|||
д^о
где 1. і. ш. означает предел в среднем квадратическом.
Для построения дискретной модели измерений перейдем от
процесса у (t) к |
sk, где |
|
|
|
|
|
h |
= h (4. |
|
гк) + V*. |
(386) |
Здесь ѵА— нормально |
распределенный дискретный белый |
||||
шум с одномерной плотностью распределения вероятностей: |
|||||
Р Ун, ѵ) = V {2nY'\ Rk I |
exp |
(387) |
|||
где Rk = R (4). |
Таким образом, |
характеристики |
процесса ѵк |
||
связаны с соответствующими характеристиками (377) предельного процесса г) (I).
Поставим задачу расчета апостериорной плотности распре деления вероятностей процесса z в момент времени 4 ПРИ усло
вии известных наблюдений процесса st, 0 |
< і с k |
|
Р (4. Ч \ |
si> 0 < / < 4 ) |
= |
= |
q(tк, гк). |
(388) |
165
Рассмотрим п + /•-мерный вектор (z, s), составленный из век тора состояния объекта г и вектора измерений s. Этот вектор является марковским. Доказательство данного утверждения сво дится к проверке равенства
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р (4> |
4> |
4 |
I 4-1 . |
4 - 1 . |
4 - i . |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
4-2» 4-2» 4 -2 . ■ • •) |
' |
|
|
||||||||
|
|
|
~ |
P {tki |
4 » |
|
4 |
I 4-1 . |
4 -1 > 4 - l) |
|
|
|||||
для |
любых tk > |
4-1 > |
4-2 > • |
• |
• |
Здесь |
и в |
дальнейшем под |
||||||||
Р ( 4 . |
4 . |
4 І 4 - і . |
4 -i> |
4-Т. |
4 -2 . |
4 - 2. s*_2; |
. . .) понимается ус |
|||||||||
ловная |
плотность |
распределения |
вероятностей |
вектора |
(z (4), |
|||||||||||
s (4) |
относительно |
событий |
|
z (t{) —■zit |
s (t() = s(-, i — |
k — 1, |
||||||||||
k — 2 , . . . |
|
|
условных вероятностей |
|
|
|||||||||||
Согласно формуле |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Р (4> |
4 . |
4 |
14-i> |
4 - i . 4-1 > |
|
|
||||||
|
|
4-2. 4 -2 . 4 - 2 '. |
• |
• •) |
= |
р (4. |
1^/г-1» ^k-Ъ |
|
||||||||
|
|
4-2. 4 -2 . |
4 -г ! |
• |
• •)р ( 4 14, |
^ki |
|
|
|
|||||||
4-2. ^k-2> ^£-2» • • .)■
Поскольку вектор выходных координат объекта х является марковским процессом, то можно записать:
Р (4» |
4 14-і. |
4-і» 4-11 |
|
|
|
4-2. 4-2. 4-2; |
• • •) = |
Р (4> 4 | |
4-1. |
4-і)- |
(390) |
В соответствии с формулой (386) распределение вероятностей |
|||||
вектора s (4) при известном значении г (4) |
= 4 |
связано только |
|||
с законом распределения шума измерений для абсолютно случай
ного процесса ѵ (4) |
и не зависит от знания |
г (/,) = zt, s (4) |
= st-, |
|||
i = k — \, k — 2, . . . |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
p (4 14. 4 . |
4-1. 4-1. |
4-1 > |
|
||
4-2. 4-2. 4-2’. • • |
•) |
= P ( 4 14> 4)- . |
(391) |
|||
Подставляя выражения (390), |
(391) в формулу (389), получим-. |
|||||
( |
Р (4. |
4 . 4І |
4-1. 4-1. 4-1; |
|
||
|
4 -2 . 4 - 2 . 4 - 2 > |
• • •) |
|
|
||
= Р (4. 4 |
14-1. 4-і) |
Р (4 | 4. |
4) = |
( 392) |
||
|
Р (4. |
4 . 4 14-і> 4-1. 4 -і). |
||||
|
|
|||||
что и доказывает марковское свойство вектора (z, s).
166
Согласно известным свойствам плотности распределения веро ятностей искомая апостериорная плотность вероятностей (388) может быть представлена в следующем виде:
|
|
Я (4. |
z*) = |
р (tk, zk \slt |
0 < i < 4 ) = |
|||||||
|
|
= |
р (4, |
zk I sk, |
s[t |
0 « |
i < |
k — 1) = |
||||
|
|
|
^ |
P(tk, zk, sk Isit 0<g i ^ k — 1) |
_ |
|
||||||
|
|
|
|
|
p(tk, Sft/s,-, |
|
— 1) |
|
|
|||
|
|
|
|
P (tk, |
Zk, sk I S[, 0 ^ |
i gg k — 1) |
|
(393) |
||||
|
|
|
|
\d zkp{tk, zk, s* |s£, O s ^ i ^ k — 1) |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Входящая в выражение (393) плотность |
вероятностей р (tk, |
|||||||||||
zk, sA/st-, |
О < |
i < |
k — |
1) может рассчитываться по формуле |
||||||||
|
|
Р (4. |
zb |
h I Sit 0 |
< i |
< |
k — 1) |
= |
||||
= |
J dzk_!p |
(tk, |
zk\ 4_lt |
zk_p, sjs,., |
0 < |
i |
« k — 1) = |
|||||
|
|
|
, = |
j |
dzk-xp |
(tk, |
2a,sa | 4-1> |
|
|
|||
S(., 0 < i < |
k — |
1) p I 4_J, |
S;, 0 < t < k — 1). |
|||||||||
Учитывая |
доказанное |
выше |
марковское |
|
свойство вектора |
|||||||
(z, s), а также формулы (390) и (392), последнее выражение может быть преобразовано следующим образом
Р (4, |
Zk, SkI S;, 0 < |
i < k — 1) = |
= 1 |
dZk-lP (4. |
I 4-1> ^A-l> |
s*-i) P (4-1- z*-iI S£, 0 < t < /г — 1) = = J dZk^p (4, z*| 4-lf z^j) p X
X (s* I 4- z^) <7^4-1- z^_i).
После подстановки полученного результата в формулу (393) будем иметь следующее выражение для q (4, zft):
I |
dzk-iP (<A, z* I |
z * . x) p (s* I |
z*) q (tk-1 , Z A .i) |
|
q (4, z*) = / - |
—=----------------------- |
■----- ------- |
—-----— ----- |
• (394) |
J dzk I dzk-iP (tk, zk j tk-1, Zk-!) p (Sk I tk, zk) q (tk-г, Zk-1)
Соотношение (394) дает рекуррентную процедуру вычисления q{tk, z k). Здесь р (4, zk \ 4_i, zk_x) легко рассчитывается на
167