Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

P(h,

z* I 4 - i , zk^)--

X

Y (2

X exp

2Д

(Z* — z*-i — / (4-i, z*_lf и*_!)

А)* X

X { G k ~ \ Q k - \ G k - \ )

1 ( z k —z k - \ —

/ ( 4 —i> zk-i> uk-i) A)

; (395)

P (sk I tk, 4) =

Кд

X

V(2n)r I

Rk I

X exp

—4-(Sft — h (4, гк)У Rk 1(sfe — /г (4, z*))

(396)

Для расчета числителя в формуле (394) необходимо взять

интеграл

ß (4,

zk) — f dz^jp (4, zk I 4_x, zk.j) q (4-i,

zk_j),

который с учетом

соотношения

(395)

может быть представлен

в виде

В (4, г*) =

,

1

__

f dzk ,q(tu-,,

Zu А X

V

V(2nr\Gk„1Qk_lGk_1\^

I

kl4Kk Ъ

hV

X exp

2Д

(Zft — z*-i — / (4_b zk_lt uk_j) А*) X

(397)

X (Gk~iQk-iGk-i)

1(г*— zft_i — /(4 - b Zé_i, и*_і) A) .

q (4-ь

z^-i) =

? (4-х,

ч) + (z*-i — 4 *

dq%zk, Zk)-\ +

+ 4 - fo-i

— z*)*-

q{tkY

Zk) (Zk- 1 — Z*) +

°(liZk- 1 — zkИ , (398)

+

z^ + o d z ^ - z * ! ) .

(399)

X§2k

k ^ (^*“1

Z*) А +

0 dl Zk - \

— zkII )А =

E +

А

df

Zk, Щ-і) (

E-{-

А

d/

zk, uk-i) -1

dzk

\zk

dzk

X

X / ( 4 -

zk>i > uk-\) А —zk-i}

+

zk~i0

— (IzkI I

)A.

(400)

Воспользовавшись в соотношении (400) разложением обрат­

ной матрицы

£ + А

Щ(tk-Ъ zk. Uk-\)

E

df (tk- l i

1

uk-i)

+ o(A)

dzk

dzk

и принимая обозначение

г » и

„

, ,

\ __ df

{ t k - i ,

Zh,

K f c _ j )

(401)

lzk (tk-i, zk,

Ч -i) —

dZk

получим

Zk— Zk-1 — f (4-1.

Z/;-l>

uk-l) А =

= iE

А fZk ( 4 - 1 .

4 , 4 - l ) ]

[2*

—

/ ( 4 - l >

4 , M£ -l)

А —

4 - 1 І

+

+

0 (A) +

0

zk(II- i — 4

І

І

)

А .

(402)

Теперь,

используя

выражение

(402),

показатель экспоненты

в соотношении (397) представим в следующей форме:

------2ДГ (z*_1 —

4

+

/ (4 -1 ,

zk,

uk-l) A)*

x

X

[Б + A /2ft( 4 - i»

4 ,

u k - \ )] (G k -iQ k -iG k -i)

1

X

X (E

+

Af Zk (4 -1 ,

4 , M/e- l)) ( 4 - i — 4 +

/

(4 -1,

zk,

ua- i ) A)

+

+

0 (A) +

о (I Izk - i—:

4

А.

II)

(403)

Л*4-і = z k - f (4-1, 4 , Ч -i) А

(404)

и дисперсионной матрице

Dzk—1 = А ( Б -j- Аf Zk ( 4 - ь 4 »

u k -i))

1 (G k - 1, Q ft-iG fc-i) X

X (£■ -f- Af'zk ( 4 - ь 4 , wÄ_ i))* _1 =

A ( £

— A /'ft( 4 _ i,

4

, и * - і) )

X

X (G*_iQfe—iGa—i) ( £ — Af z k ( 4 - 1 ,

4> 4 - i ) )

+ °

( A ) -

(405)

изведению определителей множителей,

и

раскрывая \ Е Af2k\,

\( Е — Д/гА)*| по формулам

IЕ — АД* |= 1 — А tr fzk +

о (А);

\(Е — А/гй)* 1=1 — А tr (fzkY +

+ 0 (А) — 1— А tr

—j—о (А),

Y {2л)ПАI

I [і - 2 Л tr4 + ° <д>]

■=

....

...........1 ------------------------ .

(406)

У

д I G* - A

- iG'k-i I (1 - А tr ^ ft + о (А))

Теперь снова обратимся

к вычислению интеграла

ß (tk, zk)

ностей случайного вектора ѵ с параметрами Мѵ = тѵ и

Du =

dv

принять обозначение Nu (mv, du), то согласно

формулам

(403)

—

(406) можно записать:

ß (4, Ч) = (1 — А tr f'Zk (fÄ_lt zk, u*_i) +

о (А)) X

ß (tk, z*) =

[1 — А tr ü k (tk_b zk}

ик_г) + о (А) ] X

X

<7(4-1, Zk)— Г (4-1, zk, и*_!)

dq(tk-1. Zft)

dzk

+

-j - А tr (

dzkdzk

°(A)

2

\

=

<7(4-1,

Z*) — /* (4-1,

zÄ, и*_і)

А

-f 4

А tr (Gfe_

A -i)

_

— A<7 (4-1, Z*) tr 4

(4_b zk, u*_x) + O(A).

(407)

J

(4,

zk I 4 -j , zk_x) p (sk I 4»

zk) q (4-i> Zk-i) —

= , 1

f1— 4-[sk — h (4, zk)\ RTl [s* —h (tk, zk] -f о (A)} x

X

'q(tk_b

zk) - /* ( 4 - i, zk, и,.,)

dq^ ’ Zk) A +

= 7 - —- {<? (4-1, Z*) — f* (4-i, zk, uk_x)

Z*} A +

/ ( 2 я ) ' \ R k \ ^

dZ k

+ ~

A tr ( G nQ nG ’n

\_

■

\

j

— Aq (4_ь

г*) tr fZk (4_b zk, uk^) —

----?г A<7 K4-1, z*) (sft — Я (4,

г*)]* /?4

[s* — A(4, z*)l + о (A)]. (408)

J dzk { dzk_xp (4, zk 14_ь

Z*-i) P (S k4I 4 , Z*) <? (4 - 1 ,

Z*-l) =

V A

1 - 4 -

&Mk_x{sk - h { t k, zk))*RJx X

К(2л)г I Rk I

X (sA h (4, z*)) -j- о (A) ,

(409)

где

означает

апостериорное математическое

ожидание при

сложных преобразований получим

Я (tk, гк) = q (4-1, гк) - f* (4-і, гк, uk_x)

dq(t%£~k) А +

d2q(tk-1, 2ft) \

Gk-iQk—iGk-\

3za54

j

— 4 ' Л<? (4-i, г*) Is* — h(4, z*)f

[S* — h (4, zk)\ +

+ 4~

^*-1»

[S* _

h (tk>2*)1*

X

X [s* — А (4, Zk)\ -j-o(A).

(410)

Замечая, что

Г(4-1, ZA, u*_i)

- —q (4-1, Z*) tr/'Ä(/ft_i, г*. uft_!) =

=

( - ^ - ) [/(4-1,

Zk, M*_i) q (4-1,

z*)l

v

и устремляя в выражении (410)

А к нулю, так

что

4

-і —:• 4 — 4

Щ т 1

= -

Ш ’ V < '.* .“) ? ('. *)і+

+

4 -

tr ( о <0 <г (/) О* (0

+

+ гу q (/,

*)

[М, {г/ — /г (/, *)]* /?_1 (/) [у — /г (*, *)] — ■

— [У- h (t,

*)]* 7?-1 (t) [ y - h

(t, x)]j.

(411)

<7(0, х )= р а ( х ) .

(412)

Если интенсивность шума

измерений

бесконечно

велика,

что практически соответствует

отсутствию

измерений

фазовых

/ (4 X, и) = А (i) X + В (() и.

(413)