Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

Для определения условий оптимальности управления и при­ дадим вектору и вариацию 6„.

Поскольку и является оператором от вектора измерений у, вариация б„ представляет изменение этого оператора, который в дальнейшем предполагается детерминированным.

Вариация функционала б;, заданного формулой (466), при изме­

где f = (/о, f lt . . ., /„), e — вектор-столбец с элементами:

Определим на интервале (0, 7) вектор ф (t) дифференциальным уравнением

с начальными условиями (468).

19?

Подставляя далее выражение (470) в формулу (469) и учитывая уравнение (472), получим:

т

—6J= j ф* (t) [f (х, и + 6 и, £, t) — / (X, и, I, t) + е] dt.

о

Зафиксируем управление и на интервале (0, т) и рассмотрим игольчатую вариацию управления [81 ], такую, что 8и = 0 вне интервала (т, т + Лт), где А т— бесконечно малая величина, и

и + би £ Н.

Тогда

X = / (X, и, f) + a (t) I (t),

где о (t) функция только времени, значение в, определяемое выражением (471), является бесконечно малой величиной более высокого порядка малости, чем первый член в уравнении (473),

иим можно пренебречь [141]. Для объекта управления

X = f (х, и, t) + о (х, t) I (t)

известен аналогичный результат для локального экстремума функционала при малых вариациях управления и (t).

198

Основываясь на методе оптимизации нелинейных систем, от­ метим, что неравенство

—б/ : О

будет выполнено, если условное математическое ожидание при заданной реализации уі будет меньше нуля (по крайней мере,

для всех реализаций уі, вероятность появления которых отлична от нуля), т. е.

(т + JД т [Н (х, и + бы, f)— Н (х, и, \ (475)

Применяя теорему о среднем значении интеграла при Ат і> О, получим:

М IН (х, и + 8и, т + а Ат) — Н (х, и, т + а Ат) |^Tj sg; О,

Х Д С \J

Устремляя далее Ат к 0, получаем окончательно

Существенной особенностью условия оптимальности (476) является зависимость функции Н от случайных функций ф (t), £ (t), X (t), что обусловливает трудности решения стохастической задачи оптимального управления. Частные случаи решения этой задачи будут рассмотрены в последующих параграфах.

В общем случае для определения и (yt, t) из условия (476) необходимо представить функции х (t), ф (t) в виде, позволяющем вычислить условное математическое ожидание от этих функций при известных значениях наблюдаемых функций на интервале времени (0, t).

Условие (476) выражает необходимое условие оптимального управления и и является основным содержанием стохастического принципа максимума: оптимальное управление обеспечивает мак­ симум условного математического ожидания функции Гамильтона при фиксированных наблюдениях.

Из формулы (472) следует, что, как и в детерминированной задаче оптимального управления, ф (t) определяется из системы

при конечных условиях (468). Рассмотрим частные случаи усло­ вия оптимальности (476).

Отметим прежде всего, что при свободном правом конце Т

199

Действительно, для оптимального управления вариация коор­ динат за счет вариации времени 67 может быть представлена в виде

8x(T) = - ^ r öT = f(x, и, I, 7)67.

Поскольку при управлении, обеспечивающем минимум I,

81 = М [—ф* (7) 8х (7) ] > О,

то

и при произвольной вариации 67 условие (478) может быть вы­ полнено только при

М [ф* (T)f (x, и, I, 7)] = 0.

Более того, поскольку уравнения для ф (t) и 8х сопряженные,

то

ф* (t) 8х (і) = const.

Поэтому предыдущее условие выполняется для любого t Используя определение Н (х, гр, и, t), получаем

2 0 0

или

т-{ Дт

minM ер [л: (т + Ат), т + Дт] + I / 0 (х, и, t) dt —-

Ф [* (t), t) их ( = О-

Так как ф [х (т), т] не зависит от управления на интервале (т, т + Ат), то

Обозначим

W (ух, т) = ЛГ{ф ]х (т), т] х}.

Далее используем свойство условных математических ожида­ ний, состоящее в том, что предварительное усреднение при рас­ ширенном числе наблюдений не изменяет результата следующего усреднения, т. е.

М \ у Уо\ М {м [У yt+*~\ y Ü ‘

Из последних трех равенств следует условие:

Ф [х (Т), T\ = F [Т, X (Г)]

и конечное значение для выражения (481) имеет вид

W (уі, Т) = min М [Т, X (Т)] ут),

т

“о

то уравнение (481) совпадает с уравнениями Веллмана [93].

201