Файл: Методы оптимизации в статистических задачах управления..pdf

быстродействия в детерминированном варианте (при отсутствии шума £ (t):

< 4 5 3 >

с граничным условием Т = 0, если х* А х = С (t).

Первое приближение к оптимальной гиперповерхности, полу­ чаемое как геометрическое место точек в фазовом пространстве х, дает решение уравнение

Ш в = ° . <«4>

в котором Т 0 определяется при использовании гиперповерхности переключения, полученной из решения задачи (453). Процесс последовательных приближений заканчивается в том случае, когда при решении уравнения

предыдущем і-м шаге.

Определение функций Тt возможно только в отдельных точках фазового пространства х приближенными методами.

Для получения Tt при решении задачи первого типа необхо­ димо, чтобы математическое ожидание M t {х* А х} было непре­ рывным во времени. Поэтому целесообразно использовать метод статистической линеаризазции.

Применение метода статистической линеаризации показывает, что первого приближения достаточно для получения практически неразличающихся результатов. При этом решение детерминиро­ ванной задачи (453) целесообразно проводить аналитически, так как использование метода статистической линеаризации пред­ полагает задание нелинейностей в аналитической форме. Кроме этого, гиперповерхности переключения стохастической и детерми­ нированной задач сближаются при удалении от начала фазового пространства и отличаются, по существу, только в окрестности начала, где шумы оказывают значительное влияние. Поэтому при­ ближения к оптимальному решению сводятся к изменению гипер­ поверхности переключения детерминированной задачи в окрест­ ности начала координат.

При решении задачи второго типа необходимо определить математическое ожидание времени попадания в область. Произ­ водя статистическое моделирование уравнений (361) при законах управления, определяемых по следовательными приближениями, получаем математическое ожидание времени попадания, которое используем для нахождения следующего приближения.

Для иллюстрации предлагаемого метода решения указанных задач оптимального быстродействия рассмотрим пример.

187

\

Пример. Предположим, что объект управления описывается системой диф­ ференциальных уравнений:

где I (t) = I l lt l 2 1 вектор белых шумов е известной матрицей интенсивностей

0,5 0,15

Q = 0,15 0,05

Требуется выбрать управление и таким, чтобы математическое ожидание

М+ Ь2

за минимальное время достигло единицы, т. е. С (t) = 1.

Задача второго типа сформулируется следующим образом: требуется выбрать управление и таким, чтобы минимизировать математическое ожидание времени

Необходимая характеристическая система запишется следующим образом:

Первые интегралы рассматриваемого уравнения следующие:

Xl + l R - Сі:

RT = С2.

188

Рис. 43. Фазовая плоскость с оптимальной линией переключения детерминированной задачи

Если хг и х2 лежат на эллипсе, то Т — 0. Воспользовавшись этим, запишем;

характеризующуюся тем, что из нее без переключения знака управления можно оптимально быстро попасть в область, ограниченную эллипсом. Для а = Ь— = R = 1 эта область показана на рис. 43. Однако функция Т, полученная выше, не будет решением уравнения Веллмана во всей указанной области. Для этого должны выполняться условия:

189

З н а к и р авен ств а в эт и х ф о р м у л а х о п р ед е л я ю т л и н и ю п ер ек л ю ч ен и я :

ауправление и определим формулой

и= — sign l 0 {xlt х2).

190

Опустив промежуточные выкладки, запишем выражения для вычисления функций ф и ф:

+ С О

191