Файл: Мастеров, В. А. Практика статистического планирования эксперимента в технологии биметаллов.pdf

ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

Предположим, технолог решил пренебречь эффекта­ ми взаимодействий в задаче с тремя факторами и огра­ ничиться построением линейной модели

У — b Q-\- bLXL+ b2X2 -|- bsX3.

Для независимой оценки четырех коэффициентов нужны четыре степени свободы, т. е. четыре опыта. По­ строим одну из возможных для этой модели матриц экс­ перимента с соблюдением условий ортогональности (8 ), симметрии (1 2 ) и нормировки (13). Построение начнем с матрицы 22:

Следующий столбец Х\Х2 матрицы 22 приравняем столб­ цу Х3:

Построим также столбцы Х2Х3, ^ 1^з и ХхХ2Х3 (заключе­ ны в рамку). Задача выполнена, и можно для построен­ ной матрицы применять все расчетные формулы пол­ ного факторного эксперимента. Однако при расчете ко­ эффициентов модели по формуле ( 10 ) видим, что столб­ цы Х3 и Х\Х2 одинаковы. Значит оценка Ь3 истинного ко­ эффициента регрессии Рз смешана с оценкой Ь12 коэффи­ циента регрессии р]2:

h -*■ Рз + Pl2-

Аналогично убеждаемся в совпадении столбцов Ai и Х2Х3, откуда

+ Ргз-

Точно также

fya- »" Рз + Pis-

57

Построенный плач является половиной плана 23 (опыты № 1, 4, 6, 7 из табл. 4) и потому называется полурепликой плана 23, или сокращенно планом 23~1. В со­ кращенном обозначении 3 — число факторов, 1 — число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимо­ действий.

Напомним, что построение плана 23-1 начали с за­ писи

контрастом. С его помощью легко определить, какой эф­ фект смешан с данным. С этой целью умножим контраст на столбец данного эффекта. Например, для Х\ получим:

а д а д а д а д ,

так как Х2{ = 1. Аналогично:

для Х2 Х2 — Х ] Х\ Х3 = Х хХ3,

для Х3 Х3 = У, Х2 Х\ = X, Х2.

Другим определяющим контрастом для полуреплнки 23-1 является

1 = - а д х 3.

Ему соответствует матрица, состоящая из другой по­

От выбора определяющего контраста зависит, с ка­ кими эффектами взаимодействий будут смешаны оцен­ ки интересующих технолога линейных эффектов и взаи­

58

модействий, т. е. какой будет разреш ающ ая способность дробной реплики. Рассмотрим это на примере полуреплики 24-1. Ей соответствует 8 опытов 24-1. Построение начнем с плана 23 для первых трех факторов. Возьмем для сравнения два варианта:

Оми приводят к смешиванию оценок.

Если априорно приравнять нулю эффекты тройных взаимодействий, то в первом варианте получим раздель­ ные оценки всех линейных эффектов и три смешанные оценки парных взаимодействий. Во втором варианте три из четырех линейных эффектов смешаны с эффекта­ ми парных взаимодействий. В этом смысле вторая реп­ лика обладает меньшей разрешающей способностью. Но в некоторых задачах важно точное определение ряда парных взаимодействий и второй вариант дает это пре­ имущество, позволяя строить даже нелинейную модель вида

У = bо + Ь1Х1 -|- b2X„ -j- b3X3 -|- &4Х4 -f- + ъ1Эхгх3 + Ь23Х2Х3 + 634X3X4.

59

Поскольку здесь приравниваются к взаимодействиям четыре фактора Х4, Х 5, Хв, Х 7, задаются четыре генери­ рующих соотношения:

Составим произведения этих контрастов: по два

1 = Х 3Х 4Х Б = Х 2Х 3Х БХ 6 = Х , Х аХ „ Х 7 = Х 4Х 4Х , =

= В Д В Д = Х 2Х 4Х „,

по три

1 = X .X .X g X a = Х 3Х 4Х 6Х 7 = Х 2Х 4Х 5Х 7 = Х ВХ 6Х 7>

по четыре

1 = Х 1Х 2Х 3Х.1Х 5Х 0Х 7.

Все эти равенства составляют совместно обобщ аю ­ щий определяющий контраст:

1 = Х 4Х 2Х 5 = Х 4Х 3Х 5Х 7 = Х , Х 3Х , = X jX 4X 7 =

= А2В Д = Х 2Х4Х 6 = Х 3Х4Х Б= ХБХ 0Х 7 =

= Х 1Х 2Х ЯХ Л = Х 1Х 2Х 0Х 7 = Х Д Д Л = Х 2Х 3Х БХ в = = В Д В Д = а д х вх 7 = Х 1Х 2Х 3Х 4Х БХ БХ 7.

Умножая на Х ; все члены обобщающего контраста, получаем систему смешивания оценок данной модели ':

b l ~ + - Pi + Р25+ Рзб+ Р-17 ^2 ~Рг ~ЬPl5 Ч" Рз7Ч~1^46 ^з Рз + Pie + Р27 + Р451

1 Эффекты более чем второго порядка опущены.

60