Файл: Мастеров, В. А. Практика статистического планирования эксперимента в технологии биметаллов.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 64

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Из материала о дробном факторном эксперименте следует, что рассчитанные коэффициенты bi оценивают совместное влияние отдельных факторов и взаимодейст­ вий, например:

Ь в ->- Ре + Р13 + Р24 + Р57 + • • •

Ь 7 Р7+ Р23+ Pl4 + Рбо+ ' ‘ ’ и т-Д-

Аналогия с течением вязкой жидкости позволила ав­ тору на основании анализа структур таких сумм пред­ положить, что:

коэффициент 65 определяется не влиянием * 5, а вли­ янием взаимодействия XiX2 (совместное влияние формы канала и вытяжки);

коэффициент Ь6 — влиянием взаимодействия * 1*3 (формы канала и скорости);

коэффициент Ь7— взаимодействия Х2Х3 (вытяжки и скорости). Тогда модель для q получит вид

q = 3,26 + 0,99*! — 0,14

* 2 + 0,11 * 3 + 0,84 Х4 —

— 0,26 Хг Х2 + 0,34

А Л + 0,86 Х2Х3, % -

Анализ модели приводит к выводам: для снижения разнотолщннности по сечению следует применять матри­ цу с плавными очертаниями канала (см. рис. 17,6), уменьшить вытяжку.

Т а б л и ц а 16

Дополнительные опыты для проверки прогноза V и q

Номер

 

 

 

Уровни факторов

 

 

к*, %

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4*. %

опыта

х,

X.

х,

 

х,

х.

х„

Х7

 

 

 

 

9

— 1

+ 1

— 1

 

— 1

— 1

— 1

— 1

72/76 0,80/0,92

10

— 1

4-1

0

4

0

0

+ 2 ,2 5

— 1

84/84

3,25/2,39

11

— 1

+ 2 , 6

0

-0,715

0

+ 2 ,2 5

— 1

83/88

4,27/3,19

12

— 1

+ 1

0

 

0

0

+ 2 ,2 5

— 1

82/84

3,90/2,39

13

— 1

+ 2 , 6

— 1 4

-0,715

+ 1

+ 2 ,2 5

— 1

84/88

2,80/3,19

До

оптимизации

 

14 1+1 I + 2 , 6 1 0 I + 1 ,0 7

I — 1 I

+ 1

I + 1 1 72/70 1 7,00/—

* В числителе указаны опытные значения

V и q,

а в знаменателе — опреде­

ленные По расчету.

5!

67

вначале строили план первого порядка (полный фактор­ ный эксперимент или дробную реплику). Затем с по­ мощью графического анализа (см. например, рис. 6, 13) намечали точки следующих экспериментов, в которых значение параметра оптимизации у ближе к намеченной цели. Наиболее общими методами поиска области опти­ мума являются метод крутого восхождения и метод сим­ плексов.

МЕТОД КРУТОГО ВОСХОЖДЕНИЯ

 

Если получена модель функции отклика

y = f(x i) ,

например линейная модель

 

У = Ь0 + Ь1 Хх -Г Ь2Х 2 + •••+ ЬпХ„,

(34)

то кратчайшим путем к оптимуму является движение по градиенту.

Градиентом функции называется вектор

 

grad у = —

i + —

/+••• +

гп,

s

dX1

дХъ

 

д Х п

 

где i, /,...,

пг — единичные векторы

в направлении осей

координат Х ь Х2,...,ХП.

 

(34)

значения производ­

В случае линейной модели

ных ду/дХ{ равны соответствующим коэффициентам Ьр

л

-*■

-*

—

(35)

grad у = by. + b2j

--------Ь Ьп /п.

Зависимость (35) приводит к следующей

процедуре

крутого восхождения к «вершине» у = у т ах:

 

а) в обследованной части

факторного пространства

отмечается точка М°(Х°1,

Х%,... X ®) с наибольшим зна­

чением параметра

оптимизации;

 

б) намечается новая точка NY с координатами:

 

Х\ =

Х° + ДХ,

 

 

х ; = х® +

а х 2&2

 

X' = х° + дх ь .

п

п ' п п 7

где ДXi — интервал варьирования, выбираемый с учетом технических ограничений на процесс и изложенных выше предпосылок регрессионного анализа. Качественные фак­

69

торы при этом поддерживают на постоянном (лучшем) уровне, незначимые факторы устанавливают внутри ин­ тервала (— 1, + 1 );

в) ставится эксперимент в точке М'. Если полученн значение отклика у(М') хотят дальше улучшить, ставит­ ся эксперимент 2п или дробная реплика с центром в точ­ ке М', снова вычисляется qrad у и повторяются преды­ дущие пункты восхождения к у = у тах-

Концом крутого восхождения обычно считают шаг, когда линейная модель (34) становится неадекватной

или достигнуто намеченное значение утах (например,

у — выход годного близок к 100%). Для получения адек­ ватной модели области оптимума достраивают дробную реплику до полного факторного эксперимента "’или до плана второго порядка. Располагая моделью с квадра­ тичными членами, уточняют координаты экстремума у, приравнивая нулю частные производные:

dy/dXt = 0.

Пример крутого восхождения по градиенту рассмот­ рен ниже.

ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАСТИЧНОСТИ АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ (ПЛАН 22 И КРУТОЕ ВОСХОЖДЕНИЕ МЕТОДОМ ГРАДИЕНТА)

Исследовали [37] зависимость пластичности от тем­ пературы и скорости деформации. Параметр оптимиза­ ции у — относительное удлинение после разрыва б, % об­ разцов типа 1К по ГОСТ 9651—61.

Факторы:

Xi — температура образца в начале испытания, °С; оп­ ределяется с помощью термопары; ,v2= lg e, размерность

скорости деформации е равна с-1, значение е постоянно в ходе опыта и обеспечивается конструкцией кулачково­ го пластометра УЗТМ.

Исследование сплава АМгЗ

Вначале реализовали план 22, причем Xoi = 325°C, ДХ| =

=

25° С, х02= 1,150 (е примерно 14 с-1)

и Ах2 — А (lge) =

=

0,05, число параллельных опытов на

точку с — 5:

70

и

а,

А'.

 

 

Уи1

 

 

Уа ’ %

1

+

 

16,1;

14,8;

15,8;

15,3;

15,25

15,45

2

—

19,6;

18,2;

21,4;

16,4;

18,65

18,85

3

 

+

10,1; 10,8; 14,8; 12,4; 11,78

11,98

4

+

+

15,9;

17,9;

15,3;

19,2;

16,7

16,90

После расчета коэффициентов модели, оценки их значимости и проверки адекватности модель имеет вид:

У = 16,14 + 2 , 0 8 X , - 1 , 3 5 % .

(36)

Для поиска области большей пластичности использо­ ван метод крутого восхождения по поверхности отклика.

Шаг восхождения по оси Л):

т1 = bxAxx = (Н- 2,08)-25 = -+ 52 « 50° С.

Шаг восхождения по оси Х2\

•тг = Ь2Д*2 = (— 1,35)-0,05 = — 0,066.

Ставятся мысленные опыты:

 

°с

 

Х2

 

Л

и

 

 

Отклик у и , %

5

*0 + 1 - 5 0 = 375

*0 2 -1 -0 ,0 6 6 = 1 ,0 8 4

21,07

6

*01+2 ■5 0 = 4 2 5

х^2— 2 •0,066 =

1,018

23,48

7

* 01+ 3 - 5 0 = 4 7 5

^02— 3

•0,066=0,952

24,72

8

*01+4-50 = 525

^02— 4

* 0,066=

0,886

23,18

Реализация опытов 6— 8 с наибольшими значениями отклика дала следующие результаты:

У в = 20,55, у7 = 23,7, р8 = 22,4%,

что подтверждает прогноз, выдвинутый на основании мо­ дели (36).

Исследование сплава В93

Вначале реализовали план 22: x0i= 330°C, Axi = 30°C, Ar02= lg 6= 1,00 и A*2= A (lg e) = 0,05, с = 5 :

71

и

X,

X.

V %

и

х,

х-

V %

1

____

 

16,39

3

___

+

16,78

2

 

—

20,65

4

+

+

23,57

 

 

 

 

 

 

 

л

Была получена модель: у = 19,164-2,Тб-Х^+О.бЗХг- Шаг восхождения по оси Хх шл= (+2,76) ■Axi=82,8. Шаг восхождения по оси Х2 т2 — (+0,83°) Дх2=0,042.

Приняли ni\ — 80° С, «2=0,041.

Опыты на этапе крутого восхождения по поверхности от­ клика:

и

х„ °с

х„

 

Уи . %

 

 

 

 

5

х01+ 1 -80= 410

-v-02+l -0,041 =

1,041

30,30

6

л'о1+2 •80 = 490

л-02+2-0,041 =

1,082

38,75

72

В описываемой работе Г. Я- Гуна и Трыонг Ван Кау не ставилось задачи найти вершину области экстремума удлинения: авторы ограничились получением значений:

для АМгЗ 6 щах= 23,7%,

для В93 6шах = 38,75%.

Последовательное планирование поставленных экспе­ риментов иллюстрирует рис. 20.

МЕТОД СИМПЛЕКСОВ

В симплексном методе оптимизации изучение поверх­ ности отклика совмещается с движением по ней к обла­ сти оптимума. Симплекс — выпуклая фигура в «-мер­

ном

пространстве

с числом

вершин (/г+1). На плоско­

сти

(случай

п = 2)

симп­

лекс — треугольник, в трех­

мерном

пространстве (п =

= 3) — четырехугольная пи­

рамида (тетраэдр).

 

Поскольку

в

линейной

модели

 

 

 

 

 

у = К + 1

* А

 

 

 

 

t=1

 

 

(«+ 1) неизвестных коэффи­

циентов,

симплекс с

(«+ 1)

вершинами — точками экс­

перимента представляет со­ бой насыщенный план. Идею оптимизации с помощью по­ следовательных симплексов

поясним на задаче с

двумя

факторами (рис. 21).

Рнс. 21. Поиск области оптимума

с помощью симплексов

В точках 1—3 начально­ го симплекса ставят по одно­

му опыту. Предположим, получили У\<.у2 <Уг, т.е. наи­ худшее значение параметра оптимизации отмечено в точке 1. Тогда строим точку 4 — зеркальное отражение наихудшей точки 1 в противоположной ей грани 2—3 симплекса. Находим опытное значение гд. Точки 2—4 рассматриваем совместно, как второй симплекс.- От­

73

Смотрите также файлы