Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

Dn(0!, е2) =

sup

|Sn (x) — F (x)\ ,

x£M( e1( 02)

F>n(0lt 02) =

sup

[Sn (*)

— F{x)\r

X

(Ox,

62)

D~ (0!, 02) =

sup

[F(x) — Sn (x) ],

х£М(Ъи 0a)

Rn (01, 02) =

sup

sn(*) — F (x)

62)

F(x)

X ^ M (0i,

R+n(0i, 02)

=

sup

'

Sn (*) -

F(x)

F(x)

x£M(Oi, 0a)

Rn (0i, 02)

=

SUP

0a)

R(x)

-

sn (x)

F(x)

где

x£M (0„

V ^

V2 ^

1

И

: 01< f ( x ) < 0 2) .

M (0la 0a)

=

{x

Предполагая

F (x)

непрерывной, легко обнаружить, что

распределение

перечисленных

статистик не зависит от вида

F (х).

Поэтому

с

их помощью

могут

быть

построены непара­

метрические критерии согласия.

Исследование

распределения этих

статистик прошло нес­

колько этапов. Сначала были получены предельные при

п -> о о

распределения для

Dn(0, 1),

D+ (0,

1)

и

D ~(0, 1),

а

потом

для

Dn(Q1, 021,

D* (01, 02)

и

D ~(01( 02)

при

произвольных

и

02. Позже

были

найдены

предельные

распределения

Rn (0, 1), Rn (0, 1)

и

Д „(0,

1)-

В

дальнейшем,

в связи

с ус­

тановлением точных распределений упомянутых

статистик, поя­

вилась возможность значительно уточнить

имеющиеся

асимпто-

В 1933

г.

В. И. Г л и в е н к о [82] доказал, что Sn (x) с

вероятностью

1

сходится к F (х) равномерно на всей прямой

Этот

качественный

результат

уточнил

А. Н.

К о л м о г о ­

р о в [86],

установивший

предельное

распределение D „(0, 1)

p { d „ ( 0, l x ^ L } = К(Х) ,

( 1. 1. 1)

где

со

— 2 г2 л2

( - I)'-1

Х > 0

,

sup

|Sn (х) -

F(x) |<

~~==

x^R1-

У п

с вероятностью

а.

Для статистики D „(0, 1)

В.

С. К о р о л ю к о м

[13]

было

установлено

точное распределение,

асимптотическое

разложение

которого содержится в работах [12] и [74].

С целью детального изучения поведения S „(x) Н. В. С м и р ­

н о в

исследовал

односторонние

отклонения Sn (х) от F(x).

В

1939

г.

им было найдено предельное распределение

ста­

тистики

DX (0,

1)

[56]

lim

Р

At( 0, 1) < ~гт==

[ 1 - е- 2Х2, X > о ,

1. 1.2)

( О ,

(

Я—оо

у я

Х < 0 .

Несколько позднее Н. В.

Смирнову удалось

найти и точ­

ное

распределение

D+(0, 1) [57]

X \п

п— 1

, , г—

у (n-i-yx УП г -'-1

1 - 1

] / T V

У я

i=r-\-1

О< X ^ я ,

X >

v Я ,

(1.1.3)

где г = [X У

Таково же точное распределение статистики D~(0, 1), т. к.

D~(0,1)

и

D ; (0, 1)

одинаково

распределены.

Что

касается

статистики D ~ (0, 1),

0 >

0, то

её точное

распределение

дается

формулой

[60]

[п(0—01

6Г ‘- +

Р{Дг(М)>е]

е'(1 -

X

(/пх — 1)! (п — т г) !

X

Л '

''n-m.ii k

т ,

.

т ,

1

\

<

-S -f- ------- —

X , 1 —

-------

£, -—

I

d X ,

£ = 0

где

7cns(a, р, d) = a С* («- +

s d )5' 1 (P — sd )n

s ,

= [n(0 -

e) ] -j- 1,

m.2 = [n(1 -

s) ].

Знание точного

распределения

D^(0, 1)

позволило

найти

его

асимптотическое

разложение

по

степеням п

р { о л+(0, 1) < ™ = |

=

Л-егЫ*

—

- L =

-f- о

( _

3

V

Я

\

П

при

X — О (п1/6).

Из точных распределений были

получены

также

асимпто­

тические выражения

для

вероятностей больших

уклонений одно­

сторонних

отклонений.

Следующие

результаты

принадлежат

Н. В. С м и р н о в у [57,60]:

если

л ■—у- оо,

X

=

О ( ] / п ) ,

то

1)

p |d ; ( 0, 1) > - L

— /.2 U n (X)

= «

П + 0 ( 1 ) ] ,

I

V П

где

W =

f

udu

иX

о

У п

а т0- - корень

уравнения

:.п ( i

+

- Ц

_

'ti -4- л

тУп /

-т'У

= In

1

-

X

I ________ __________

(1 —х) \ п

(1 — т) У п — X ’

т п

1

2

-X

=

3

у

п

2

2) при

1/ 2 <

0 < 1

(X/i>AT

< 1 -

0)

а) Р (

£>я+ (0,,

1) >

Х

,срп (Х, 0) 1 / 0 ( 1

-

9)

20

] / 2кХ

2 0 - 1

’

где

ч>п (X 0) =

^

\ — п 6 —

X

0 у .п

фп (X;

0 ) У

6(1

- 9)

2 9

1 /Т п Х

2 0 -

1 ’

•/г 0

— X У"л"

Фя (Ь 9) =

1

в Г

X

X 1

X

— п (1 — в) + X У п

(1

-

0)

У п

б) р 1 d ; (o, 1

-

в) > - р Х ] = р { ог(о, 1 »

тде