Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 78
Скачиваний: 0
Отсюда следует существование интегралов
|
х |
& ( + « > ) = \ |
d t , |
t) |
|
о |
|
* ( + ® ) = j f(f)4T*'dt |
|
0 |
|
и равномерная сходимость первого интеграла относительно о.
По известной теореме Лебега будем иметь
х*
ёй(х) = J М О dt -> j* / (/) в dt = g(x)
о
Var g0( x ) ^ e ,
х>а
при достаточно большом а > 0 независимо от 3 .
Применяя лемму 1.1, найдем, что при 8-»-0
e~ixx dg&(х) -у | e~ixx dg(x) =
б |
6 |
= |
[ erixx f (0 e-at dt =-- <p (s), (s = a + i x) (1.2.5) |
|
o |
равномерно относительно x в любом конечном интервале.
Но |
|
|
|
0 |
kb |
|
со |
со |
с о |
|
|||
| e-‘xxdg6(х) = |
j* e~lxt и (t)dt |
= ^ |
uk(8)е~ш |
j e~ixt dt = |
||
|
|
k=\ |
|
(k—1)5 |
||
CO |
|
|
е'тй — 1 |
|
|
|
uk (5) е-ш ~1кх& ^ Тв |
^ |
■Мб (s) |
||||
ix |
||||||
£ |
ix |
|
||||
k=\ |
|
|
|
|
|
|
Поэтому соотношение (1.2.5) равносильно доказываемому. |
1 '■ ■ |
2. Г. М. Мания |
17 |
и* учно?$^**& Я я ' .
Равномерность сходимости следует из равномерной ограни ченности аналитических функций
00
5 “ * <s> = i h r |
r |
r |
f <г‘“ igs w |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
в любой конечной области |
полуплоскссти Res > у при сделан |
|||||||||
ных предположениях. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если |
предположить |
с |
самого начала |
существование |
ин |
|||||
теграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
g ( ° ° ) = |
[ / |
(0 e~at d t , |
|
|
|
|
||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
то, как легко убедиться, утверждение леммы остается |
справед- |
|||||||||
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
ливым, если интегралы |
j* / й (t)dt равномерно малы при я -V co . |
|||||||||
Для этого, очевидно, достаточно выполнения |
следующего усло |
|||||||||
вия: при любом г > |
0 |
можно найти такое |
х — х ( г ), |
что |
|
|||||
5 |
uk (5) е~ш < |
г |
|
|
|
(1.2.6) |
||||
k8> х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при любом |
достаточно малом |
5 |
и а > у • |
|
|
|
|
|||
Если |
условие |
(Е 2.2) |
выполняется, |
то |
выполняется |
и |
||||
( 1.2.6), но не наоборот. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Лемма 1.3, к доказательству которой мы теперь перейдем, |
||||||||||
представляет собой |
предложение, |
в некотором |
смысле |
обратное |
||||||
только что доказанному. Не стремясь здесь к большей общнос ти, мы докажем ее в следующей формулировке.
Л е м м а |
1.3. Пусть последовательность функций { % ( § ) } , |
О <[ 5 < 50, |
удовлетворяет условию |
I |
ик(8) — Wfe-i (8) |< Z, 8 eky6 , w0 = 0 , k = 1 7 oo , |
где положительные константы L и у не зависят от S.
18
*
Если для производящих функций
СО
|
|
|
|
|
|
М * ) " ^ u k ( b ) l h |
|
|
|
|
|
|
|||||||
при |
§ -> 0 |
имеем |
|
|
k=l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 мв (e~es) |
ср (s) = |
J* |
e~sif(t)dt |
|
|
|
(1.2.7) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, кроме того, |
|
f(t) |
абсолютно непрерывна, |
/ ( 0) |
= 0 , |
<: |
интег- |
||||||||||||
рал в правой части (1.2.7) |
сходится для |
Res = |
a > y , |
mo |
|||||||||||||||
П/7Ы |
k b - + t . |
|
|
|
“ к (*) “ ►/(*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим |
функции |
|
|
|
|||||||||||||
|
Ы ) |
|
| % (5 ) с - “ «, |
*8< |
« |
( |
* |
+ |
1)8 |
(В> |
Г) , |
|
|
||||||
|
= |
1 О , |
< < 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Вариации |
функций g e(0 |
на |
(0, |
со) |
|
равномерно |
|
ограни- |
||||||||||
чены для 5 > |
50 и a > |
у . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
В самом |
деле, в силу (1.2.6) будем иметь |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Var g6(0 |
= |
^ |
|
|% e' ft60 “ |
|
|
e_(ft_1)ea 1^ |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
k=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
CO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I «ft - |
«k-11 |
|
|
|
2 |
I «k-11 |
(e6a - |
1) < |
||||||||
|
k=\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
k^\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
|
|
|
DO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<L5S |
|
e"fte<CV>+ L ^ |
|
кЬе~Ща~У) (e&a“ ^ |
|
|
||||||||||||
|
|
* = 1 |
|
|
|
|
A=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
L 5 e-e <°~'v> |
|
\-L |
|
, |
|
е-в(а-т) |
|
|
|
l |
|
L c 5 |
||||||
|
1 _ e-e(c-v) |
5(e6c- |
1 ) - — ■ |
|
|
|
< ■ |
|
| |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
( |
1_ |
е-в(С-\>))2 |
|
< j _ y » |
- т ) а |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° |
|
(предполагая, |
что |
o |
> |
y |
и 8 о < 1 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
19
Очевидно также, что g6 (t) равномерно |
ограничены, |
так |
как в точке 0 все они равны 0, а их вариации, |
как было |
до |
казано, ограничены в совокупности. |
|
|
Обозначим |
|
|
Фв(т) = е ixt dg6 (t).
О
Имеем
Фа (т) = 2 e-ixk&К |
e~h6a - uk-i |
||
k=\ |
|
|
|
= (1 — е~1х6) и6(e~6s), |
|
s = <з -f- i т . |
|
Рассмотрим функцию |
|
|
|
f(t)e~at, |
t > |
О, |
|
g(t) = |
/ |
< |
0 , |
О , |
|||
=
( 1.2 .8 )
которая при наших предположениях является абсолютно непре рывной с ограниченным изменением на (0, оо) и обозначим
|
ф(т) = j e~ixt dg(t). |
|
|
6 |
|
Для ф(т) |
получим |
|
СО |
оо |
|
ф (т) = Г |
e~ltx g' (t)dt = ix I* e~txt~at f(t)dt = i x y (s) . |
( 1.2.9) |
*} |
•> |
|
0 |
0 |
|
Из условий леммы, принимая во внимание (1.2.8) |
и (1.2.9), |
|
следует |
|
|
|
lim фв (т) = ф ( т ) . |
( 1.2. 10) |
|
8—0 |
|
Покажем теперь, |
что ge (t) -> |
g(t) |
при 5 -»• 0 . |
|
|
||
Допустим, что это |
не так; тогда можно найти точку |
t=*t* |
|||||
и последовательность |
g^ {t), g^ (t) , , |
g ^ (i),..., |
где |
on |
0 , |
||
сходящуюся к пределу, |
заведомо |
отличному от |
g(t*) |
в точке |
|||
20