Файл: Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей.pdf

П

ч

,

,

2 0

Л2

896

X4

+

Сп (У t 0) = 1 +

— ---------

135

п2

а

9

п

1

(Sj +

s2)

X

(О < s; <

1,

i = l , 2)..

2

2

У п

Из 2)

можно

заключить,

что,

если

—- =

со , но л =

= О( У п ) ,

у

п

то

P {D-(Q,

1

- В )

>

х / К 7 Г }

=

Р { ^ ( е , 1) > х / У Т }

_^0 _

P{D„+ (0,1

-

0) > л / К Т }

P {D -(0, 1 ) > Х / | / Т )

Наряду с этим при X= О (п1/4) имеем

также

P { D ; ( 0 , 1 ) > А / К « } ~ Р ! z? - ( 0 ,1 ) > - - A = +

}

и

1

У я

п 0 (I — 0) J

Р { D - (0, 1

-

0) >

X /

У 7Г[ ~

Р \d *(0,

1 - о ) > - £ =

у

] ►

I

Уп

n 0( i - 6)j

Предельные распределения статистик Dn(0X) 02)

и

02)

при произвольных 0Х и 02 методом

Ф е л л е р а

[79],

основанным

на применении аппарата производящих

функций и преобразова­

нии Лапласа,

получил

Г.

М.

М а н и я

[23,

24].

Позже,

в ра­

боте [84]

Г о р о

И ш и и

были

найдены

их

точные распреде­

ления *>.

Исследование

относительной

погрешности

приближенного

равенства

5 „(х )

*

F(x)

было начато

Р е н ь и .

Оказалось [94],

что для

О < Т 0 < 1

lim Р

2 [ е

(2/2dt,

Х > 0 ,

Rn (0, 1) < Я

/

4.

П-* со

(1.1.4)

О ,

Х < 0

*) См. также работу В.

А. Епанечникова в журнале

«Теория вероят.

и её примен.»,

18,4

(1973),

827 — 830. — Прим. ред.

Нш Р

{l/n V "< 9' ’) < х)

Л — оэ

где

00

Точные распределения для Д +(0,

1) и

(В,

1) получили

Г о р о

И ш и и

[85]

с

использованием

многомерного

интегриро-

зания и позже

Н.

В.

С м и р н о в [60]

более простым методом.

Последняя работа содержит некоторые

результаты и об асимп­

тотике

этих статистик.

Для построения критериев однородности

нескольких неза­

эмпирические функции распределения.

Пусть

Sn(x)

и Тт(х)

соответствуют независимым выборкам

объемов

п и т из гене­

ральной совокупности

с

непрерывной

функцией

распределения.

Согласно теореме

Н.

В.

С м и р н о в а

[55], если

п — тЬ,

где

3 — некоторое

положительное число, то

“

Г г г

sup

|Sn( x ) - T m(x)\<\ } = K(X). ( 1. 1.6)

n +

m

X^ R1

Здесь

K(ty

определяется

из (1.1.1).

В этих

же

условиях

асимптотические распределения суп ­

ремумов одностороннего и двустороннего расхождений

Sn (х) и

Тт(х) на заданном участке роста F(х), совпадающие с рас­

пределениями статистик

Dn (0lt 02),

D* (91; 02)

из

[23,

24],

были

получены И.

Д. К в и т о м

[9].

Результаты, аналогичные (1.1.6) для случая относительных

расхождений

S „(x)

и Тт(х), содержатся в

[104] и

[75].

Во всех

результатах,

приведенных

выше,

кроме теоремы

Гливенко, функция F (х)

предполагалась непрерывной. Как по­

казали

Ш м и д

[97] и К а р н а л

[73],

теоремы Колмогорова

(1.1.1),

Смирнова (1.1.2)

и Реньи (1.1.4),

(1.1.5)

распространя­

ются и на случай разрывной функции распределения

F(x).

гих теорем и получить новые

результаты. Не вдаваясь в

под­

робности, мы отметим работы

Д у б а [77]; Д о н с к е р а

[76],

на [3],

Н.

Н. Ч е н ц о в а

[65], Ю.

В.

П р о х о р о в а [52].

Настоящий обзор ни в

коей

мере

не претендует на пол­

ноту. Для

дальнейших

сведений

мы

отсылаем

читателя

к.

обзорным

статьям

И. И.

Г и х м а н а ,

Б.

В. Г н е д е н к о

и

Н. В.

С м и р н о в а

[4],

А.

М. К а г а н а

и

Ю. В.

Л и н н и к а

[8], Ю. В.

П р о х о р о в а

[91],

Р е н ь и

[95],

а также

к работам

В и н ц е

[93, 106],

Т е и л е р а

[101],

Я.

Ю.

Н и к и т и н а [51].

Л е м м а

1.1.

Пусть функции с

ограниченной вариацией

gb(х),

— о о С х С о о ,

сходятся

при

о — 0 на всюду плотном

множестве к функции с ограниченной

вариацией g(x),

причем

gb(х)

равномерно ограничены,

a

Var

g6 (х) равномерно

малы:

\х\>а

(относительно

о)

при

а - у со;

тогда

СО

00

Нш^ |

е~Сххdg6(х) =

j*

dg(x)

( 1.2.1)

---00

---00

Д о к а з а т е л ь с т в о .

При данном^ е достаточно выбрать

два числа А > 0 и В > 0

так, чтобы при всяком 5 > 0

I*

e~‘xxdg6(x)

< V a r

g6( x ) < s

A

x>A

В

dg&(x)

<

Var

g6(*) <

£ ,.

r < £

5

CO

J J*

d g (* ) +

| e~ixx dg (x) |<

e

— 03

Л

что, очевидно,

можно сделать

в силу условия леммы, считая

А к В точками

сходимости.

Повторяя затем

известные рассуж­

В

в

j* е~‘хх dg6 (х) — j e~l'xxdg:(x) < s (2 L + 1),

А

А

где L — верхняя

грань вариаций функций g&(х) и g{x). При­

e~lxx dg6 (х) —

1 e~lxx dg (x)

< е ( 2 L +

4),

что и доказывает

лемму.

Л е м м а 1.2.

Пусть последовательность {ufe(§)),. k= 1, оо ,

неотрицательных функций от о (5<

о0) удовлетворяет условию

uk(5)e-h46< M

,

( 1.2.2)

где у > 0 и М > 0 я е

зависят от k и 5,

Если при

5 -> 0 и

kb-*-

t [почти для всех

t > 0

w w

,

а -2л )

где

f (t) — измеримая

функция, то для',

последовательности

производящих функций

оо

lim

5u6(e~6s) =

ср (s)

=

1 e~stf (t) dt ,

(1.2.4)

при

a = Re s >

у (сходимость равномерна для всякой конечной

области полуплоскости

Re s >

у).

Существование интеграла (1.2.4) устанавливается в ходе

доказательства леммы 1.2.

кции

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим

вспомогательные фун­

Ч(Ь)е-ш , ( k - l ) 5 < t ^ k 5 (5 > у ),

т

=

О,

t <

0 ,

X

0 ,

(х) =

J /б (t)dt ,

х >

о

х ^ 0 ,

О,

g W

=

х >

0 ,

х ^

О .

В силу условия (1.2.3) почти для

всех

t >

О

/б (0 = «[«/в)+1] ехр

—

+

1

5 a )

-> /

(0 е-<в .

Кроме того, в силу условия

(1.2.2),

О <

/б (0 < м exp j — (а — у) §

L + i

<

М

* .

Очевидно,

О

<

/ ( /) <

АГ г *