Файл: Кондратьев, С. Л. Применение метода функционального моделирования для оценки помехоустойчивости систем связи.pdf

что элемент х находится в отношении Ф с элементом у и обо­ значается (яФу) в том и только в том случае, если:

Рассматривая каналы связи вообще как, совокупность функциональных элементов, можем ввести различные отноше­ ния: операция кодирования GK предшествует операции моду­ ляции GM ; усилители можно разбить на классы по величине коэффициента усиления на основе отношения порядка (>,<Г,

<Г) или включения (zd, cz, =э, cz); сигнал и помеха могут находиться как в аддитивном s ( + ) « , так и в мультипликатив­ ном s(X)n отношениях, где само отношение Ф имеет смысл «образовывать сумму» или «образовывать произведение» и вы­ ражается через математическую операцию; выше уже исполь­ зовалось отношение «образ» и «прообраз».

Особым случаем такого отношения является функция (и ото­ бражение). В силу важности дальнейшего функциональные от­ ношения и отображения Ф будем обозначать в привычном виде:

В этих обозначениях имеется и содержательный смысл, так как, вообще говоря, х и у могут принадлежать и к различным множествам Л4 и N соответственно: отношение (функция) Фг опре­ делено на М, со значениями, определенными из N. Аналогич­ но, при отображении Ф: -образ yeN отношением Ф ; ставится в соответствие совокупности всех тех элементов хеМ, для ко­ торых справедливо Ф - 1 {у)—х и которые называются прообразом.

Еще один вид представления отношений будет широко ис­ пользоваться в дальнейшем * ) . Речь идет о бинарных отношениях на конечном множестве, выраженных с помощью матриц соот­ ветствующих размерностей, в которых используется символика Кронекера, т. е.

Целью построения модели является замена оригинала с по­ следующим выяснением или определением его свойств или зако­ номерностей. То обстоятельство, что модель должна заменить оригинал, означает, что между ними существует отношение взаи­ мозаменяемости или отношение общности (одинаковости) пове­ дения в заданных условиях. В идеальном случае они мог]ут быть

•*) Любое отношение можно' также представить графом.

S

неразличимы с точки зрения выполнения определенных функций, т. е. Ф = Е. Так как функциональный элемент ФЭ, а тем более системы связи в целом являются сложными устройствами, то о тождественном отображении может идти речь только для не-

'которых простых отношений или в тех случаях, когда невоз­ можна меньшая степень общности.

Вобщем случае каждому ФЭ присуще не одно, а несколько свойств или признаков, что влечет за собой введение на множе­

стве М .не одного, а нескольких отношений, причем сами эти от­ ношения Ф,-, (Dj могут находиться в определенном отношении друг к другу. Например, поскольку на множестве натуральных чисел естественно отношение порядка у>х (или х^.у), мож­ но определить и отношение делимости на 2, выделив таким об­ разом четные числа с оставшимся отношением порядка. Все чет­ ные числа оказываются одинаковыми в том смысле, что делятся на 2 без остатка. Здесь математическая операция деления опре­

Чтобы ответить на вопрос о том, является ли построенная нами структура моделью, нужно, следовательно, убедиться в на­ личии общности отношений, а также отношений между отноше­ ниями. Эта общность обусловливает введение особого вида отно­ шений, обладающих соответствующими свойствами.

Отношения Ф т , обеспечивающие структуре (объекту) свой­ ства модели оригинала, будем называть отношениями модельности.

Рассмотрим те свойства отношения Фг, которые необхо­ димы для того, чтобы оно стало отношением модельности, т. е. Ф1 = Фт. Выше в эти свойства включили единичное отображение, т. е. положили, что Ф; ZD Е. Естественно, что любой объект может

являться моделью самому себе. Кроме того, естественно также полагать, что если модель заменяет оригинал, то и, наоборот, оригинал заменяет модель; если модель похожа на оригинал, то справедливо и обратное утверждение.

Далее положим, что указанные свойства отношений сохра­ няются для двух элементов, один из которых принадлежит к эле-' ментам-оригиналам. Но чтобы одна модель находилась в одина^ ковом отношении с остальными элементами-оригиналами, т. е. представляла целую группу элементов, нужно, чтобы отношение Фг было справедливо для всей этой группы. Отсюда желателен перенос отношения. Конечно, в крайнем случае, можем ограни­ читься лишь одним представителем указанной группы элементов.

Сформулированные нами требования к отношению между моделью и оригиналом на языке математики аксиоматически вы­ ражаются свойствами рефлексивности, симметричности и тран­ зитивности, причем эти свойства полностью определяют отно-

9

шение. В зависимости от того, является ли данное отношение рефлексивным (антирефлексивным), симметричным (антисим­ метричным, асимметричным) и транзитивным (интранзитивным), мы и определяем соответствующее отношение.

Отношение Фг является рефлексивным, если

По определению, ф г = ф т , т. е. является отношением модель­ ности, если х и у взаимозаменяемы, х = у хотя бы в одной точке (хотя бы по одному признаку). Покажем необходимость рефлек­ сивности от противного. Пусть Фг- — антирефлексивное отноше­ ние. Тогда из хФгу следует хфу, что невозможно.

Симметричность отношения очевидна уже из самого требова­ ния взаимозаменимости: если модель может заменить оригинал, то и наоборот. Утверждение доказано.

рядка ( > , или < ) . Но, по определению, строгим порядком назы­ вается антирефлексивное и транзитивное отношение. Заметим,

'существовать тождественная модельность, которую исключили в утверждении 1, так как всегда полагали, что собственно модель не есть оригинал. Если снять это условие, то тогда следует вклю­ чить и антисимметрию (но не асимметрию).

Следствие 2. Отношение общности (толерантности) является модельным отношением, так как оно рефлексивно и симметрично по определению.

1.0