Файл: Кондратьев, С. Л. Применение метода функционального моделирования для оценки помехоустойчивости систем связи.pdf

дополнительно к рефлексивности и симметричности необходимо еще и свойство транзитивности, так как функциональные отно­ шения всегда являются транзитивными. Можем проверить, что равенство (тождественность) обладает всеми указанными свой­ ствами отношений.

Таким образом, важнейшим для функционального моделиро­ вания оказывается:'

Утверждение 2. Необходимым условием функциональной модельности отношения Ф, является его рефлексивность, симмет­ ричность и транзитивность.

по крайней мере отношением эквивалентности.

Если при рассмотрении простых отношений Ф,- на множестве М необходимыми свойствами были лишь симметричность и реф­ лексивность, то при функциональных отношениях, которые яв­ ляются соответствиями, необходимым условием будет еще и транзитивность.

Поэтому минимальной общности (толерантности) оказы­ вается недостаточно. Модель в функциональном смысле должна обладать более строгой степенью общности — по крайней мере эквивалентностью. Ниже убедимся в том, что указанное требо­ вание сужает класс преобразований, которые можно использо­ вать при построении функциональных моделей, и что следует выбирать лишь особую группу эквивалентных преобразований. Продолжим теперь рассмотрение уравнений m е М, переходя на привычный язык математического анализа. Будем обозначать

При моделировании сами элементы х{ не обязательно яв­ ляются одними и теми же, т. е. для оригинала имеем х, а для модели х'. Тогда уравнения:

дое частное решение yi не обязано быть совпадающим с у'. Если это различие в некоторых точках невелико, т. е. допустимо с точки зрения приближенного решения задачи, то можем счи­ тать такие соответствия равносильными. Вопрос о допустимости степени различия является особым и связан с решаемой зада­ чей. Однако само понятие меры различия плодотворно тогда, когда оно. применяется на множестве объектов, обладающих определенной общностью свойств.

12

Действительно, бесполезно вводить меру различия на объек­ тах различной природы или совокупности качественных призна­ ков одного объекта. Например, бессмысленно пытаться вводить меру различия (расстояние) между такими показателями каче­ ства аппаратуры, как цвет, вес, геометрическая форма, помехо­ устойчивость и т. п. В подобных случаях мера различия между объектами просто определяется числом несовпадающих при­ знаков.

С другой стороны, само по себе расстояние р между х, у и z должно обладать едиными математическими свойствами, неза­ висимо от того, какие объекты или их .показатели мы сравни­ ваем. Поэтому функция (функционал) расстояния вводится в ма­ тематике единой системой аксиом:

расстояние между ними равно нулю.

Второе требование (симметричности) вытекает также из от­ ношений общности. Третье требование, однако, является специ­ фическим (аксиома треугольника) и, видимо, порождено широ­ ким, применением евклидовой геометрии. Поэтому в некоторых случаях третье требование к функционалу не предъявляется, за что, как правило, приходится расплачиваться значительным усложнением анализа получающихся решений.

Заметим, что аксиомы расстояния не очень жестко ограничи­ вают выбор функционала,, а поэтому «а одном и том же мно­ жестве можно задать различные расстояния (см. [3], стр. 62— 65). Однако этот произвол совсем не безобиден, так как априори

Как модель, так и оригинал могут обладать относительно друг друга более богатыми функциональными свойствами, т. е.

ТЗ

шений в модели относительно оригинала, что обусловливает со­ впадение решений не только по мощности kM = k0, но и по их зна­ чениям. Очевидно, что именно к таким преобразованиям мы должны ло возможности стремиться, а это, конечно, потребует более строгой эквивалентности, чем было определено выше.

Стремление получить строго инвариантную модель, т. е. мо­ дель, решения на которой совпадают с решениями оригинала, нельзя во всех случаях считать наилучшим, так как за это при­ ходится платить выбором слишком узкого класса преобразова­ ний Gi, что, очевидно, приведет к значительному усложнению модели.

В заключение обратим внимание на то, что изложенная нами детерминистическая постановка задачи обоснования общности модели и оригинала может быть обобщена и с точки зрения ве­

В зависимости от цели исследования как вид функционала Q, так и сама степень общности могут изменяться. В частности, молено в качестве функционала общности Q использовать ин­ формационный функционал по Колмогорову ([3], стр. 118), по­ нимаемый в более широком смысле, чем это определяется в тео­ рии информации, но включающий и его. Тогда наш выбор пре­ образований d должен исходить из необходимости обеспечить инвариантность энтропии преобразований, а в общем случае и вероятностной меры. Если такое преобразование будет найдено, то можно утверждать, что соотношение

можно трактовать как информационную общность модели и

носить и систематический, и случайный характер. Это обуслов­ лено как неточным отображением совокупности свойств оригинала (в частности, и потому, что некоторые из них нам неизвестны), так и вследствие случайного характера внешних условий Уи У2,---,Ут&У, в которых должна работать моделируемая си­ стема. Поэтому, строго говоря, любая модель может дать лишь •некоторое приближенное решение (оценку) (см. .главу 2), в об­ щем случае различное при различных условиях.

Введем следующие качественные определения, которые будут математически конкретизированы на основе материала следую-

14

щей главы. Предварительно уточним введенное выше понятие состоятельности модели.

Модель, область решений которой с допустимой степенью

является несостоятельной, поскольку она не обладает требуемой степенью общности с оригиналом.

Модель, способную заменить оригинал во всех заданных условиях его функционирования, будем называть эффективной.

Очевидно, что при хорошем выборе алгоритма модели она должна обеспечивать сходимость к решению в оригинале при меньших^затратах машинного времени и (или) емкости машин­ ной памяти.

Состоятельная модель, обеспечивающая наименьшую воз­ можную'степень различия ie, при заданных ограничениях на ма­

В таком случае сами частные модели, построенные по соответ­ ствующим правилам, могут дать информацию о свойствах ори­ гинала, которые неявно присутствовали в некоторых данных. Прежде чем формулировать общие правила построения моделей, необходимо рассмотреть основные физические свойства ориги­ нала.

§ 1.2. Основные функциональные свойства системы связи

Основным назначением системы связи является передача со­ общений из пункта передачи в пункт приема в возможно более короткий срок и с необходимой степенью верности. В этом

то всегда необходимо стремиться к использованию лишь мини­ мально необходимого их числа, определяемого физическими условиями при передаче сообщений.

Важнейшей особенностью системы связи является принци­ пиальная возможность получения сколь угодно малых искаже-

15

меньшие информационные'потери. Переход от оригинала к мо­ дели неизбежно приводит к потерям информации, и чтобы сде­ лать их возможно меньшими, математический аппарат должен отображать физические свойства оригинала.

I

1.2.1.Первичные и функциональные элементы и нх фнзнческне

ноператорные свойства

Любая пассивная или активная электрическая цепь состоит из ряда целесообразно соединенных первичных элементов, вы­ полняющих определенные преобразования над входными физи­ ческими процессами (током или напряжением). Под элементами электрической цепи здесь и в дальнейшем понимается идеали­ зированное устройство, обладающее лишь одним физическим свойством, а именно:

цепи можно определять как преобразователи энергии одного вида в другой. Так как всегда справедлив закон сохранения энергии, то элементы, численное значение их параметра и способ соединения не могут быть абсолютно произвольными. Обратим внимание на это обстоятельство: если по условиям задачи или при наблюдении физического явления определяются потери энер­ гии в цепи, то обязательно должны быть ее потребители (рассеиватели), поскольку здесь оперируем идеальными элементами. Справедливо и обратное: наличие тока в цепи свидетельствует либо о наличии источников (если цепь изолирована от внешней среды), либо цепь содержит реактивные элементы (при отсутст­ вии собственно источников), получающие энергию из среды.

Втеории цепей элементы i?, L , С обычно принято считать паосивными, а свойство их как генераторов шума «е рассмат­ ривается [9].

Вкачестве элементов пассивных цепей будем понимать не только обычные (навесные) конденсаторы, катушки индуктивно­ сти или резисторы, но и их аналоги в современном исполнении.

16