Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

вычислим вероятность того, что все обслуживающие врачи свобод­ ны. Затем с помощью соотношений

найдем вероятности занятости k обслуживающих врачей.

После вычисления всех предельных вероятностей легко опре­ делить следующие основные вероятностные характеристики для анализа функционирования системы обслуживания.

Математическое ожидание числа пациентов, находящихся в системе обслуживания (обслуживаемых и ожидающих начала об­

Итак, в данной постановке задачи методы теории массового обслуживания позволяют проанализировать функционирование си­ стемы медицинского обслуживания при различных соотношениях между потоком пациентов и количеством обслуживающих врачей и найти наивыгоднейшее из них. Выбор критерия наилучшей ор­ ганизации процесса обслуживания может базироваться на непревышении числа пациентов, ожидающих начала обслуживания, за­ данного числа N.

124

Вданном случае мы также сталкиваемся с огромными вычис­ лительными трудностями, так как степень решаемых уравнений обуславливается числом пациентов, нуждающихся в медицинском обсл уживании.

3.Рассмотрим систему медицинского обслуживания с условными потерями пациентов.

Взадаче второго типа существенное значение имело условие нео­ граниченного времени ожидания пациентами начала обслужива­ ния. Здесь пациент, попавший в систему обслуживания, мог ее по­ кинуть только тогда, когда обслуживание его полностью закончено.

Исходя из практики организации обслуживания пациентов в некоторых функциональных органах здравоохранения, известно, что поток больных, нуждающихся в медицинском обслуживании, ограничен возможностями обслуживающей системы. Например, в системе медицинского обслуживания типа поликлиники раздается строго определенное количество номеров, позволяющих в течение рабочего времени обслужить только часть пациентов. Остальные пациенты получают отказ со стороны системы обслуживания и по­

кидают ее. Что касается пациентов, получивших номера, то часть из них обслуживается сразу, а часть ожидает начала обслужива­ ния, создавая очередь.

Легко заметить, что в рассмотренных ранее задачах не учи­ тывалась эта сторона процесса обслуживания. Данное условие

если в момент его поступления все обслуживающие врачи заняты, а число ожидающих пациентов больше заданного числа т. В этой задаче есть дополнительные условия, наличие или отсутствие которых определяет, остается ли очередной пациент в системе об­ служивания или покидает ее. Очередной пациент остается в си­ стеме обслуживания при условии, что общее число пациентов, уже находящихся в системе, не превосходит определенной величины, обусловленной возможностью данной системы.

Пусть, как и прежде, задана обслуживающая медицинская си­ стема, свойства которой почти идентичны свойствам систем, рассмо­ тренных ранее, кроме одного, заключающегося в том, что все об­ служивающие врачи заняты. Тогда очередной пациент становится в очередь при условии, что в ней находится количество пациентов, меньше т. Если в очереди находится ровно т ранее поступивших пациентов, то очередной пациент покидает систему или, что то же, обслуживающая система отказывает ему в обслуживании,

Легко заметить, что если т = оо, то эта задача превращается в задачу с неограниченным ожиданием начала обслуживания, а при

125

вероятность отказа, т. е. вероятность того, что в системе на обслужи­ вании находится I — п т пациентов. Этот показатель определя­ ет на сколько вероятно, что новый пациент вообще не будет принят. Кроме того, для пациентов, ставших в очередь для обслуживания, важно знать, какое время они будут находиться в ожидании начала обслуживания. Большое практическое значение имеют такие пока­ затели процесса обслуживания, как среднее число пациентов, ожи­ дающих начала обслуживания, среднее число свободных обслужива­ ющих врачей, среднее число пациентов, находящихся в системе ме­ дицинского обслуживания.

Функционирование охарактеризованной выше системы медицин­ ского обслуживания можно исследовать с помощью следующих систем однородных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

Проинтегрировав (5.22), получим все неизвестные функции

Положив t оо, из системы (5.22) находим систему линейных однородных алгебраических уравнений (п + 1 )-го порядка от­ носительно неизвестных предельных значений этих вероятностей

Рі (0 (/ = 0, п) в виде

получим такую систему неоднородных линейных алгебраических

126

вычислим вероятность того, что все обслуживающие врачи сво­ бодны.

127

После этого с помощью соотношения

можно определить вероятность того, что в системе обслуживания

находится точно k (k = 1 , п) пациентов.

Вероятность того, что все обслуживающие врачи заняты, т. е. того, что в системе обслуживания п пациентов, можно вычислить по формуле

Среднее число пациентов, ожидающих начала обслуживания в

системе обслуживания,

I

Среднее число пациентов, находящихся в обслуживающей сис­ теме,

М2= Ъ крк.

/г= 1

Среднее число врачей, свободных от обслуживания, определя­ ется по формуле

Далее, определим время ожидания пациентом начала обслужи­ вания. Это время является случайной величиной, так как оно за­ висит от того, сколько длится удовлетворение каждого требования, а это — величина случайная и зависящая от количества пациентов, стоящих в очереди, и многих других причин.

Обозначим через ß время ожидания обслуживания, тогда задача оценки времени ожидания пациентом начала обслуживания сводится к отысканию функции р {ß > t}, т. е. вероятности, с ко­ торой время ß пребывания в очереди превосходит время t. Итак, вероятность того, что время ожидания начала обслуживания ß будет больше заданного времени t, можно найти по формуле

(5-33)

k = n s = 0

Таким образом, при помощи решений системы (5.26) опре­ деляются основные вероятностные характеристики, описывающие функционирование исследуемой системы медицинского обслужива­ ния.

В описанном методе предусматривается возможность автома­ тического поиска наилучшей организации процесса обслуживания путем анализа функционирования системы обслуживания при раз­

128