Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 90
Скачиваний: 0
личных соотношениях между потоком пациентов и количеством обслуживающих врачей.
Подобное исследование требует многократного составления и решения большой системы уравнений (5.26), а выполнение таких вычислительных процедур возможно только на современных ЭЦВМ.
2.Методы решения больших систем уравнений
Впредыдущем параграфе подробно изложены методы моделирова ния процесса медицинского обслуживания населения. Показано, что проблема наилучшей организации процесса медицинского обслуживания приводит к необходимости решения и исследования больших систем уравнений: в общем случае — систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными ко эффициентами, а в частном (при наличии предельных вероятнос тей) — систем неоднородных алгебраических уравнений вида
|
|
АР = |
Ь, |
|
(5.34) |
|
где |
аіі |
а 12 |
0 |
|
. . . |
0 “ |
А = |
ß 21 |
а 22 |
а 23 |
0 |
. . . |
0 |
0 |
а 32 |
азз |
а ЗІ |
. . . |
0 |
|
|
|
_ 0 |
0 |
0 |
• • • О.п,п_ |
|
Р = |
Рі |
Р 2 |
|
Рп . |
ь = [ Я , о , о , |
, 0 ]. |
|
|
|
||||
|
Ро |
Р о ’ ' ’ ‘ |
’ |
Р о |
’ |
|
Для исследования подобных больших систем уравнений разра ботаны различные методы.
Одним из наиболее практически целесообразных является ме тод, разработанный В. К. Кабуловым (20]. В. К. Кабулов установил некоторые свойства алгебраических систем уравнений и разработал метод вычисления корней подобных больших систем. Предложенный В. К. Кабуловым метод решения таких систем алгебраических урав нений заключается в следующем. (Рассмотрим метод В. К. Кабулова в нашей интерпретации [17].) Пусть дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений вида
allPl а12р2 — ^1 > |
|
|
|
а2іРі "Ь а2іРі |
а23Рь ~ |
0 , |
|
й 32р3 + |
а ЗЗРз + |
а З іР і |
— |
|
|
|
(5.35) |
&п—1,л—2Рп—2+ ПД—1tn—\р п—1 ф- а п— і мр п = 0, |
|||
|
|
^п,п— 1Рп— 1 “Ь ОппРа = 6 , |
|
|
|
« . - > |
с о . |
9 4-628 |
129 |
Вначале, последовательно исключая переменные ри р2> •••> Рп—і» систему (5.35) приводим к виду
ДіРі + апР2 =
^ 2р2 а2зРз ~
ДзРз "Ь аЗіРі ~
(5.36)
Д/г—lPfc— 1 + а/г—l,kPk=(~ 1)2Ä '^1 >
где
Д* = Й/г/гД/г—1 — О/г—Цгй/г,/г—1 |
(/г == 1 , л ); Д 0 = 1, Йо* = а /г0 = 0 . |
Далее, с помощью системы (5.36) легко вычисляем все корни ис ходной системы (5.34) по формулам
Pk —К— ^ |
' ^1— °/г.Н-іР/г-и]> |
|
(5.37) |
Р п = ( - i f - 1А - |
Ф = \7п). |
Отметим, что полученные рекуррентные соотношения удобно реализовать на современных ЭЦВМ, что позволяет намного сэко номить машинное время для счета.
Таким образом, решение больших систем алгебраических урав нений сводится к вычислению следующих величин:
а) |
Ді = ап , |
|
|
|
|
Дг — @22^1 |
^12^21> |
(5.38) |
|
|
Дз ~ @33^2 |
2 |
2 |
|
|
Йзйз , |
|
||
б) |
(5.39) |
(5.40)
Рі — |
l^i |
^ігРгІ- |
130
ft
Воспользовавшись соотношением 2 Pi — 1> находим
/=і
ПП
|
Ро = |
|
|
2 |
рі |
затем |
рір0= pt |
(i = l, п). |
Итак, вычисление всех вероятностных характеристик систем медицинского обслуживания легко провести с помощью алгоритмов
(5.38) — (5.40).
Т а б л и ц а |
11. Решение |
и исследование |
системы уравнений (5.39) |
|
|
Х І |
*1+1 |
Х ! + 2 |
ь, |
1 |
« п |
0|2 |
0 |
Ьі |
2 |
а г \ |
|
|
b i |
3 |
а зг |
°зя |
а ЛІ |
b 3 |
л — 1 |
а п — 1, п — 2 |
а п —I, п —1 |
а п —1, п |
b n — \ |
п |
а п , п — 1 |
а п п |
0 |
b n |
Рассмотрим разработанный нами способ решения и исследова ния системы уравнения (5.39), подобный методу Гаусса. Для этого коэффициенты уравнений (5.35) поместим в определенной последо вательности (табл. 1 1 ).
Затем элементы первой строки этой таблицы разделим на а11г
после чего получим строку |
в виде |
|
1 |
а $ 0 Ь[1), |
(5.41) |
где |
|
|
Из преобразованной строки (5.41) легко получить рекуррентное соотношение
Рі = |
,u>: |
(5.42) |
— ßiâ'/V |
9 ; |
131 |
Далее, преобразуем вторую строку табл. 11. Для этого преобра зованную строку (5.41) умножим на элемент—а21 и почленно сло жим со второй строкой. Получим преобразованную строку в виде
где |
|
О |
е $ |
oä’ |
Ь$\ |
|
(5.43) |
|
^ 2 2 ^12 '■2 1 ' |
|
|
|
|
|
|
|
|
092 |
^ 2 3 |
— |
^2 3 |
0 ' ^ 21' |
^ 2 — & 2 |
^ 1 ' ^ 21' |
||
Разделив элементы строки (5.43) на ай?, получим |
|
|||||||
|
|
|
О |
1 |
а $ |
b f \ |
ЬП) |
(5.44) |
|
„(2 ) — |
„(О |
ь'2>= |
|
||||
где |
а 23 |
2 |
|
|||||
Й 2 3 |
= = |
0 |
а> |
|
||||
|
|
|
|
|
QU> |
|
||
|
|
|
°22 |
|
|
а22 |
|
|
Из преобразованной строки (5.44) легко получить рекуррент ное соотношение
pa = b?) - a g )ps. |
(5.45) |
Аналогично продолжая процесс, из третьей строки (см. табл. 11)
исключим р2 |
и |
получим |
преобразованную |
строку |
||||||
|
|
|
|
О 1 |
ag’ |
|
b f\ |
|
(5.46) |
|
где |
|
л ( 2 > |
= |
■ |
м |
2) |
— |
^ |
. |
|
|
О 34 |
^ 3 |
|
4У ’ |
||||||
|
|
|
|
|
п{2)п |
* |
||||
С и |
= |
а зй «зУ = |
азз |
^ > |
= J 3 и2 “ з а - |
|||||
^ 2 3 ^ 3 2 » |
||||||||||
Из преобразованной строки (5.46) легко написать рекуррент
ное соотношение |
|
Рз = Ь?] — а34р4. |
(5.47) |
Таким образом, продолжая процесс исключения последующих переменных, получаем последовательные рекуррентные соотношения
где |
|
Рк — ^*2>— а<к,1+1рк+Ь |
(5.48) |
|||
|
/>(» |
|
|
|
|
|
Ы? = |
Ь^ — bk — tfc—lßft.ft—Ь |
|
||||
К |
|
|||||
|
|
4У |
|
|
|
|
(2 ) |
_ |
„а* |
_(1) _ |
_ |
_(2) _ |
|
“ft.ft+l |
|
|||||
ак,к+1 |
= |
„О) |
йкк |
akk |
— ü-k—l,kCtk,k—U |
|
|
|
akk |
|
|
|
|
|
|
|
ßftll+l = ak,k+1- |
|
||
После подобного |
последовательного |
преобразования |
послед- |
|||
ней строки будем |
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
О 1 0 Ьп{ \ |
|
(5.49) |
||
откуда получаем рекуррентное соотношение |
|
|||||
|
|
|
~р . - |
|
|
(5.50) |
132
Итак, для вычисления корней системы уравнений (5.35) полу чаем следующие рекуррентные соотношения:
Рі |
= с |
- |
а?ор2, |
|
р2 |
= М2) - |
йгз’Рз. |
|
|
Рз |
|
|
О-мРц, |
|
Pk = |
- |
(2 ) |
“ |
|
Ük.k+lPk+l, |
||||
pn—l = е |
, |
(2 ) |
- |
|
-—&п—\,пРпч |
||||
Рп = е
Подставляя рп в предпоследнее соотношение системы (5.51), легко вычислить /?„_і = b„-i — ßn-і.п bn]; подставляя p„_i в
предыдущее соотношение, вычисляем рп—2и т. д.
Отметим, что изложенный способ решения подобных систем уравнений удобно проиллюстрировать при помощи формальных схем. В табл. 12 показана последовательность получения рекур рентных соотношений (5.51) для вычисления корней исследуемой системы (5.34).
Из изложенного легко убедиться, что описанный способ вы числения всех корней системы (5.34) содержит почти идентичную последовательность операций, а это чрезвычайно важно для приме нения современных ЭЦВМ. Кроме того, указанный способ позволя ет сэкономить оперативную память ЭЦВМ, так как почти не требует рабочих ячеек для хранения промежуточных результатов. Все это дает определенное преимущество при решении подобных систем уравнений высокого порядка на современных ЭЦВМ.
Отметим разнообразие рекуррентных соотношений (5.51), позволяющее разработать адаптирующиеся программы на ЭЦВМ. Описанный выше алгоритм реализован нами на ЭЦВМ «Минск-22» и ЭЦВМ «М-220». С помощью этих алгоритмов решен целый ряд практических задач.
3. Построение модели многомерной информационной системы
и метод прогнозирования ее работы
При планировании мероприятий здравоохранения в настоящее время преимущественно опираются на детерминистические расчет
ные формулы и средние |
нормативы, |
при помощи которых нель |
зя учесть естественную |
изменчивость |
происходящих процессов. |
В результате этого реальная потребность населения в квалифици рованной медицинской помощи не соответствует плановым предположениям. Поэтому любое мероприятие системы здравоох-
133