Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 94
Скачиваний: 0
ностей pk (k = 1 , л) в виде
—(к + v) рх + 2 vp2= К, hPi ~ ß + 2v) p.2-f 3vps =
|
|
— ß |
+ |
3v) p.j + |
4vpi = |
0, |
' у |
(5.5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Xpn-2 [A + |
(n + |
1) V] p„_1+ |
m pn = |
0, |
|
||||
|
hPn‘ — 1 |
ftPn = |
3, |
|
|
|
j |
|
||
или в матричной форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ÄP = b, |
|
|
(5.6) |
||
а п |
а 12 |
0 |
0 |
|
0 |
. . |
0 |
0 |
|
P1 |
а 21 |
а 22 |
а 23 |
0 |
|
0 |
. . . |
0 |
0 |
|
|
|
|
~Pi |
||||||||
0 |
а 32 |
а зз |
й 34 |
0 |
. . . |
0 |
0 |
|
||
|
|
|||||||||
0 |
0 |
а 43 |
а 4і |
а 4Ъ . . |
. 0 |
0 |
|
|
||
_ 0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
• * ■ &ГШ— 1 |
|
|
J>n- |
|
|
|
|
|
|||||||
~X~
0
|
|
|
|
0 |
|
|
|
au = |
— ß |
-f v); |
a12= 2 v; |
|
|
|
|
a// = |
k |
(г = 2 |
, л; |
/ = |
1 , л — 1 ; |
іф }); |
|
an = |
(— Я + tv) |
(г = |
2, n — 1); |
|
(5.7) |
||
a<7 = |
(i + |
1) V |
(i = 2, |
n |
1; |
/ = |
37л); |
йлл = |
лѵ. |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, задача определения вероятностных характе ристик системы медицинского обслуживания свелась к исследованию системы неоднородных линейных алгебраических трехчленных уравнений л-го порядка, методы решения которых изложены ниже.
Решая систему (5.6), получаем неизвестные |
рг, р3, ..., рп. |
120
Для |
перехода к основным |
вероятностным характеристикам |
ра, Рк |
Pu ■••> Рп можно воспользоваться формулой |
|
|
S Р* |
(5.8) |
|
А=1 |
|
|
Рк — РкРо |
(А= 1 ,п). |
Первое отношение в (5.8) характеризует вероятность того, что все обслуживающие врачи свободны, а второе — что в обслужи вающей системе находится точно k пациентов, т. е. обслуживанием пациентов занято k врачей. Следовательно, математическое ожи дание числа врачей, занятых обслуживанием пациентов, можно вычислить по формуле
М = 2 kpk. |
(5.9) |
k=1 |
|
Итак, решение системы (5.6) позволяет легко получить основ ные вероятностные характеристики, необходимые для определе ния функционального состояния системы медицинского обслужи вания. Кроме того, задаваясь различным количеством обслуживаю
щих врачей, можно находить оптимальное |
соотношение |
между |
|||
ним и |
количеством пациентов, |
что позволит |
оптимально |
органи |
|
зовать |
процесс обслуживания. |
Однако анализ функционирования |
|||
системы медицинского обслуживания |
при |
различных количест |
|||
вах обслуживающих врачей требует |
многократного составления |
||||
и решения системы уравнении (5.6). А это сопряжено с большими вычислительными трудностями, так как нарастающее количество обслуживающих врачей приводит к монотонному нарастанию порядка системы уравнений (5.6).
Следовательно, исследование деятельности функциональных ор ганов здравоохранения при помощи методов теории массового
обслуживания немыслимо без |
применения современных ЭЦВМ. |
||
2. |
Предположим, что система |
медицинского обслуживания от |
|
носится |
к системе с ожиданием, |
т. е. |
пациент, попавший в систему |
медицинского обслуживания, будет находиться в ней до тех пор, пока его не обслужат. Предположим также, что общее число па циентов. нуждающихся в медицинском обслуживании, ограничено. Тогда можно сформулировать следующую задачу.
Пусть обслуживающая система состоит из конечного числа об служивающих врачей. Каждый врач может одновременно обслужи вать одного пациента. Если в момент поступления очередного па циента в системе обслуживания есть свободные врачи, то один из них немедленно приступит к его обслуживанию. Если же все врачи заняты, то пациент становится в очередь и ждет, пока освободится один из врачей. И в этом случае будем считать, что время обслужи вания одного пациента есть случайная величина у, подчиняющаяся
показательному закону распределения Р {у <Ц} = 1 — е~ѵі.
121
Итак, поток пациентов, поступающих в систему обслуживания,
ограничен, т. е. одновременно в системе |
обслуживания не может |
|||||
находиться больше т пациентов, где т — конечное число. |
||||||
Положим, |
поток |
пациентов обладает следующими свойствами: |
||||
а) |
вероятность того, что пациент поступит в систему обслужи |
|||||
вания за время (t, |
t + At), |
если он не поступил в систему обслужи |
||||
вания до момента |
і, равна ХАі + о (Аі); |
|
независимое. |
|||
б) момент |
поступления |
пациента — событие |
||||
Тогда критериями, характеризующими качество функциониро |
||||||
вания |
рассматриваемой системы медицинского обслуживания, мо |
|||||
гут быть: отношение средней длины очереди к т |
— наибольшему |
|||||
числу |
требований |
обслуживания или |
пациентов, находящихся |
|||
одновременно в обслуживающей системе; отношение среднего числа свободных врачей к их общему числу. Легко заметить, что эти два критерия могут полностью характеризовать функционирование системы медицинского обслуживания. Первый критерий характе
ризует потерю времени за счет |
ожидания начала обслуживания, |
а второй — полноту загрузки |
врачей. |
Функционирование такой системы исследуем с помощью систем линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций вероятностей вида
— ju |
= — %mPo{t) + vPt (t), |
||
-dPkJ f ] = (m — k + |
1) Kpk^i (t) + [(m— k)X + kv] pk (t) + |
||
+ (k + |
1 ) vpk+l (t) |
(O c k < n ), |
|
— Jk t] |
= (m — k + |
1) ри-i (t) — [(m — k)X nv] pk (t) + |
|
+ nvpk+l(t) |
(n < k < m ), |
||
— 2(— |
= Vm- 1 |
(t) — nvpm{t). |
|
Проинтегрировав систему (5.10), получим все неизвестные |
|||
функции вероятностей |
pt (t) (i = 0 , п), характеризующие функ |
||
ционирование системы медицинского обслуживания.
Если нас интересуют стационарные решения системы, то при помощи упомянутой выше теоремы систему (5.10) легко преобра зовать в систему линейных неоднородных алгебраических уравнений
— Хтр0+ |
ѵрг = 0, |
|
|
X (т — k + |
1 ) pfc_i — ](m — k)X + kv] pk + |
||
-f- (k -f- 1 ) vpk-)-i = |
0 |
(0 < £ < / z ) , |
|
(m — k + |
1) Xpk_ x— ]{m — k)X + nv\ pk + |
||
-frcvpft+ 1 = 0 |
|
( n < / e < m ) , |
|
Xpm—i — nvpm = 0 |
, |
|
|
122
что в матричной форме можно переписать так:
где |
BP = |
d, |
(5.12) |
Рі |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рі |
|
|
Р |
Рп—І » |
d |
О ; |
|
Р а |
|
О |
- |
Рт - |
|
0 |
в = |
|
||
|
|
|
5 ц |
6 ! 1 > |
о |
0 |
. . |
|
5 22 |
ь ® 0 |
. . |
|
0 |
5 з 2 5 33 b f i . . |
|||
0 |
0 |
0 |
0 |
. . |
0 |
0 |
0 |
0 |
. . |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
е і , , . - 2 |
|
е . |
, . . |
0 |
0 |
0 |
. 0 |
Ь п Х - 1 |
&пп |
* • |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
. . . 0 |
|
|
|
/70) |
|
h |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
* и т—I,r«— 2 |
и т—-I ,т—. е - м |
|
||||
0 |
0 |
0 |
0 |
. . . 0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
5 (1) п—1 |
Ьтт |
|
|
|
Ьц = |
— \{т ~ k)K-\-kv] |
(і = |
1 ,/г— 1 ; |
k = i + |
1 ); |
|
|
|||||
|
Ьц = |
— \{tn — k)X-\- ov] |
(i = |
n, m — 1; |
|
|
k = |
i + |
1);(5.13) |
||||
|
bi}’ - |
(m — i) |
|
|
(i = |
2 , m — 1 ; |
/ = |
1 , m — 2 ); |
|
||||
|
Ь$ = (Л+1)ѵ |
(t = 1, o - |
1; |
/ = 2 , 0 + 1 ; |
fc = t + |
l); |
|||||||
|
Ьц = |
ov |
|
(г = о, m — 1 ; |
j = |
о + |
1 , m)\ |
|
|
|
|
|
|
bm,m— 1 = |
X\ |
|
b nlni = |
O V . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая систему (5.12), получим все неизвестные предельные |
|||||||||||||
вероятности в безразмерном виде: pL, р2, |
Рп- |
|
|
|
|
|
|||||||
При помощи формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Ро = |
|
1 |
|
|
|
|
(5.14) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||