Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

исследования по уровню организации к одной из трех групп: детер­ минированные, детерминированно-вероятностные и вероятностные. Отнесение входов и выходов объекта к одной из трех групп: про­ стые, сложные, очень сложные.

5. Выбор класса модели. В зависимости от уровня организации объекта выбирается класс математической модели: линейная, нели­ нейная, вероятностная. Класс модели во многом определяет матема­ тический аппарат, наиболее подходящий для описания работы мо­ дели.

6.Выбор вида модели. В выбранном классе определяется вид модели. Переход от класса к виду неоднозначен. Существует мно­ жество видов математической модели, принадлежащих одному клас­ су. Так, к классу нелинейных моделей могут быть отнесены полино­ миальные, нелинейные дифференциальные уравнения и т. п.

7.Синтез оптимальной модели. Использование ЭЦВМ позволяет осуществить автоматический синтез оптимальной модели выбранно­ го вида. Критерием оптимальности может служить, например, наи­ меньшая абсолютная ошибка, наименьший разброс относительно среднего значения и т. п.

8.Синтез параметров модели. Для определения параметров моде­ ли используются данные опытов. Обычно критерием наилучших зна­ чений параметров модели может быть минимум средней квадратичной ошибки или минимум интеграла от квадрата ошибки. Для опреде­ ления параметров модели, удовлетворяющих данному критерию, составляется и решается система уравнений, получаемая из частных производных подынтегральной функции критерия по параметрам модели или осуществляется процедура спуска в пространстве пара­ метров модели. Оба варианта вычисления параметров удобно реали­ зовать на ЭЦВМ.

Для пояснения некоторых моментов, связанных с синтезом мате­ матических моделей, рассмотрим различные варианты постановок задач.

1.Единичный одномерный случай. Пусть выход объекта у зави сит от входной величины, принимающей только одно значение х. Пусть над объектом п раз проведено испытание, в результате которо­ го получены значения выходной координаты уъ ..., уп. Предвари­ тельная статистическая обработка позволяет определить среднее значение выходной величины г/ср. Если принять гипотезу о том, что распределение выходной величины подчиняется нормальному зако­ ну, то можно определить среднеквадратичное отклонение и найти степень отклонения фактического распределения от нормального. Не накладывая никаких ограничений на фактическое распределение,

для отклонений от среднего значения (уі — уср, і — 1, п) с учетом точности измерения Ау можно построить экспериментальную гисто­ грамму распределения выходной координаты.

Следующим этапом является определение сложности и уровня организации исследуемого объекта по отношению к выходной коор­ динате. Сложность определяется по формуле (1.16), а относительная

24

организация по формуле (1.12). Если величина относительной орга­ низации лежит в пределах 1—0,3, то преобразование объектом вход­ ной координаты можно считать детерминированным. В этом случае считаем, что объект преобразует входную величину в среднеарифме­ тическое значение выходной координаты. Постоянный коэффициент

такого преобразования определяется достаточно просто:

ѣ,

Если величина относительной организации меньше 0,3, то пре­ образование входного сигнала объектом нельзя считать детермини­ рованным. Здесь математической моделью объекта может считаться преобразование входной величины в среднеарифметическое выход­ ной координаты с непременным учетом статистических особенностей разброса реальных значений выходной координаты относительно средней.

2. Многозначный одномерный случай. Пусть на вход объекта по­ ступает я значений входных величин. Для каждого из этих значений

проведено т{ (і = 1, я) испытаний. Необходимо определить вид ма­ тематической модели. Для каждого конкретного значения входной величины имеем mt значений выходной координаты. Применительно к каждому значению входной величины на массиве /л, значений выход­ ной координаты с учетом точности измерений можно построить ги­ стограмму распределения отклонений от среднеарифметического, определить сложность и величину относительной организации. За сложность объекта следует принимать максимальную оценку слож­ ности по всем сечениям входной величины. Если уровень относитель­

сительносреднеарифметических величин выходной координаты, т. е.

Усрі — > i — 1, я. (1-23)

Таким образом, рассматривается преобразование объектом

Xi (і = 1, я) в усрі (t = 1, я). Оператором преобразования — функ­ циональной математической моделью — может быть любой линей­ ный или нелинейный полином:

Параметры полинома ищутся обычно, исходя из минимизации критерия среднеквадратичного отклонения экспериментальных зна­ чений выходной координаты и точек, задаваемых моделью (операто­ ром) при тех же значениях входных величин:

25

Условия минимизации функционала часто позволяют получить систему уравнений для определения параметров оператора — мате­ матической модели.

Используя тот или иной критерий наилучшего приближения к аппроксимации экспериментальных данных и задаваясь классом опе­ ратора L, можно построить алгоритм выбора минимальной струк­ туры оператора в данном классе. Такие методы применительно к классу степенных нелинейных полиномов (уравнения регрессии) изложены в гл. 3.

Если величины относительной организации не укладываются в пределы 1—0,3, то объект не может считаться детерминированным. В этом случае необходимо учитывать не только преобразование объектом входных величин в среднем, но и статистические законо­ мерности разброса реальных значений выходной величины относи­ тельно средних.

3. Многозначный многомерный случай. Пусть выходная коорди­ ната объекта зависит от N входных величин. Пусть также для неко­

набор совокупностей N входных величин «срезом» для mt значений выходной координаты, определяем значение среднеарифметическо­ го, строим гистограмму отклонений от среднего, определяем слож­ ность и степень относительной организации. Если объект может быть отнесен к классу детерминированных, то задаваясь классом преобразований входных величин в выходную координату — мате­ матической моделью и критерием наилучшего приближения — можно поставить и решить задачу определения структуры и конкретных значений параметров математической модели. Метод такого поиска математической модели в классе многомерных линейных и нелиней­ ных уравнений регрессии приведен в гл. 3.

В случае недетерминированного объекта его модель может быть представлена описанием многомерного случайного процесса.

4. Динамический многозначный одномерный случай. Пусть вход­ ная координата, воздействующая на объект, изменяется во времени, а при одном и том же входном сигнале записывается выходная коор­ дината объекта. Число испытаний примем равным п. Тогда записи выхода объекта молено трактовать как реализации некоторой слу­ чайной величины.

Первым этапом синтеза математической модели, как и раньше, является определение сложности и степени организованности объек­ та. Для этого можно выбрать некоторые фиксированные моменты времени и для них определить математическое ожидание (средне­ арифметическое) координаты выхода объекта, с учетом точности из­ мерения построить гистограммы разброса относительно средней, определить сложность и относительную организацию. Если для вы­ бранных моментов времени (а выбирать следует характерные моменты

26

по тем или иным соображениям) величина относительной организа­ ции будет лежать в интервале 1—0,3, то объект можно считать детер­ минированным. Математической моделью объекта, описывающей изменение во времени среднеарифметической выходной координа­ ты, может служить линейное неоднородное дифференциальное урав­ нение. Порядок дифференциального уравнения определяется из взаимного рассмотрения записи входной координаты и средней вы­ ходной координаты, однако он всегда должен быть минимально воз­ можным.

Далее ставится задача определения коэффициентов дифферен­ циального уравнения модели. Часто коэффициенты можно с успехом определять путем минимизации функционала

где T — время наблюдения; уср (t) — среднеарифметическая выход­ ной координаты; х (t) — входная координата; L — линейный диф­ ференциальный оператор.

Получить разрешимые относительно коэффициентов дифферен­ циального оператора L уравнения из условия минимизации функ­ ционала удается лишь в частных случаях. Чаще же приходится при­ менять процедуру спуска в пространстве параметров модели по гра­

где ас — коэффициенты дифференциального уравнения; пг — поря­ док дифференциального уравнения.

В качестве инструмента определения параметров модели исполь­ зуются цифровые или аналоговые вычислительные машины. В этом случае существует опасность попадания в локальный минимум в про­ странстве параметров модели, что необходимо учитывать.

Более строгий, но и более трудоемкий переход к определению коэффициентов модели состоит в следующем. По записи выходной ко­ ординаты во времени часто можно судить о характере корней харак­ теристического уравнения дифференциального уравнения модели объекта. Если известен вид общего решения однородного дифферен­ циального уравнения и входная координата является сравнительно простой функцией времени, то молено написать решение дифферен­ циального уравнения и осуществлять процедуру спуска примени­ тельно не к коэффициентам дифференциального уравнения модели, а к корням характеристического уравнения, входящим как парамет­ ры в некоторую функцию (решение дифференциального уравнения).

Вобщем случае это почти всегда приводит к многошаговому решению систем трансцендентных уравнений.

Если относительная организация объекта ленсит в пределах 0,3— 0,1, то объект можно отнести к вероятностно-детерминированным.

Вкачестве математической модели можно использовать нелинейные

27

Г л а в а 2. МЕТОДЫ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ БОЛЬШИХ ИНФОРМАЦИОННЫХ МАССИВОВ

1. Перекодировка исходного информационного массива

Рассмотрим несколько приемов обращения с исходным информа­ ционным массивом, подлежащим введению в ЭЦВМ и дальнейшему анализу. Для конкретности рассматриваемых здесь методов сжатия информации будем ориентироваться на методики медицинского об­ следования населения.

Применение кибернетических методов в медицинских исследова­ ниях в процессе решения трудоемких задач, связанных с большим количеством расчетов, с обработкой учетных и отчетных медико-ста­ тистических документов, немыслимо без широкого внедрения совре­ менной вычислительной техники. При этом необходимо разработать системы алгоритмических языков, обеспечивающие ввод медицин­ ской информации в ячейки памяти ЭЦВМ и ее математическую обработку. Так как память современных ЭЦВМ весьма ограничена, то разрабатываемые методы ввода медицинской информации должны позволить сэкономить оперативные ячейки памяти ЭЦВМ. Это, однако, вызывает усложнение процесса составления и отладки про­ грамм.

Итак, разработка оптимальных алгоритмических языков для ввода медицинской информации в ЭЦВМ является довольно слож­ ным и ответственным моментом.

Проанализировав любой медицинский документ, легко заметить, что он насыщен разнообразной (качественной и количественной) информацией.

Рассмотрим структуру медицинских анкет, содержащих медицин­ скую информацию, характеризующую состояние здоровья населе­ ния. Известно, что каждая анкета состоит в основном из трех частей.

1. Фактическая часть. В этой части анкеты содержится информа­ ция, характеризующая степень использования населением системы обслуживания типа поликлиники, куда в первую очередь обращают­ ся за медицинской помощью. Медицинская анкета состоит из следую­ щих данных.

1.Паспортная часть: а) национальность;

б) пол; в) возраст;

г) общественная группа. 2. Посещение поликлиники:

а) нозология (диагноз), т. е. болезнь, по поводу которой пациент обратился за медицинской помощью в систему обслуживания;

29