Файл: Железнов, Ю. Д. Статистические исследования точности тонколистовой прокатки.pdf

w(x)

As~>.

В

Если формула (5) выражает среднюю вероятность на участке Ал:, то равенство (6) показывает на плотность w (х), с которой распре­ деляются значения случайной величины в заданной точке:

Функция w (л:) называется плотностью распределения вероят­ ности, или дифференциальной функцией распределения непре­ рывной случайной величины X.

График плотности распределения, соответствующий функции

Тогда на основании равенства (2) интегральную функцию распределения можно выразить через функции плотности распре­ деления [1]. По формуле (8) получим

X

Геометрически формула (9) выражает площадь под кривой распределения, лежащую левее точки х (рис. 3).

Основные свойства функции w (х):

1. Плотность распределения всегда положительна, т. е.

w ( x ) ^ : 0 (— ООгС. X о о ) .

2. Несобственный интеграл от функции плотности распреде-

+ 0 0

9

Рис. 3. Определение вероят­ ности попадания случайной величины на участок ( —со < < X < х)

Что же касается размерности, то функция распределения F (х) характеризует вероятность случайной величины, поэтому она безразмерна. Плотность же распределения w (х), как видно из формулы (7), имеет размерность, обратную размерности случай­ ной величины.

Пример

Функция распределения непрерывной случайной величины определена формулой

О в интервале — оо < х < О

Определить: а) плотность распределения w (х) и б) вероятность

попадания случайной величины в интервал от —g- до

Р е ш е н и е . На основании формулы (7) находим плотность распределения

0, —оо^ х < о

На рис. 4 приведены графики функции распределения и плот­ ности распределения.

Рис. 4. Функция распреде­

ления F (*) = sin х (о <

л \ < х < —) и плотность рас­

пределения W (*) = COS X

10

Вероятность вычисляем по формуле (9):

пя

Ут

w (х) dx = \ cos х dx =

яя

ТТ

б. Характеристики случайных величин

На практике иногда достаточно знать числовые характери­ стики случайных величин, которые дают представление об их рас­ пределении. Эти параметры должны каким-то образом дать ин­ формацию о среднем, около которого сгруппированы случайные величины, и о том, как они разбросаны с удалением от среднего.

Как показывает опыт, наиболее часто применяются такие чис­ ловые характеристики, как математическое ожидание (среднее значение), дисперсия, моменты различных порядков.

Особенно информативной из характеристик случайной вели­

чины является ее математическое ожидание (среднее значение): СО

(Ю)

—00

Информацию о законе распределения случайной величины получают чаще всего из опытов. Правила обработки опытных дан­ ных и получения вероятностных характеристик случайных вели­ чин из опытов дает математическая статистика.

Статистическая теория во многом основана на теории вероят­ ностей, хотя здесь есть и обратная связь [2].

Рассмотрим такой пример. Нас интересует качество холодно­ катаных листов. Для анализа из всей продукции полученных в од­ них и тех же технологических условиях мы выбираем какое-то количество листов. Мы должны учитывать, что вывод и оценки, основанные на ограниченном материале наблюдений, отражают случайный состав нашей пробной группы и потому должны счи­ таться приближенными оценками вероятностного характера [3].

Пробная группа, взятая из всей массы продукции, назы­ вается выборкой, а вся продукция в этом случае является гене­ ральной совокупностью.

Необходимо подчеркнуть, что статистические характеристики самих выборок являются случайными величинами, так как взятие пробной группы (выборки) из генеральной совокупности носит элемент случайности. В отличие от статистических характеристик выборок закон распределения, характеризующий генеральную совокупность, является детерминированной функцией.

Между средней генеральной совокупностью и выборочными средними всегда существует некоторая разность.

Статистическая теория во многих случаях дает рекомендации, как наилучшим образом обработать имеющуюся у нас выборочную

11

информацию для получения по бозмоЖносДи более ДоЧнЫх И на­ дежных вероятностных характеристик.

Пусть в результате п измерений случайной величины х полу­ чили результаты x lt х 2, ■ ■ хп. Выборочное среднее

П

является оценкой средней генеральной совокупности (математи­ ческого ожидания). С увеличением числа опытов п выборочное среднее приближается к математическому ожиданию. При п = оо эти величины совпадают:

Л-> ОО

Момент 6-того порядка для непрерывной случайной величины относительно начала координат называется начальным моментом и вычисляется по формуле

со

—СО

Выборочный момент 6-того порядка определяется по формуле

П

Математическое ожидание и выборочное среднее представляют собой моменты первого порядка.

Моменты относительного среднего значения называются цен­ тральными моментами и вычисляются по формуле:

|х* = Л4 (х — x)k — +J» (х — x)kw(x)dx, (15)

где х — х = х — центрированная случайная величина;

х — среднее значение.

Выборочный центральный момент 6-того порядка равен мо­ менту того же порядка соответствующей центрированной случай­

Между начальными и центральными моментами с помощью би­ нома Ньютона можно определить следующие зависимости:

12

jx2 = М (*,. — ~xf = M (x?) — [M (X,.)]2 = a2 — (X)2 = a, - af, (17)

Рассеивание случайной величины X от среднего значения х характеризует центральный момент второго порядка р 2. Соответ­ ствующая выборочная характеристика вычисляется по формуле

| (XI- i f

Центральный момент второго порядка называется дисперсией случайной величины х.

Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратич­ ным отклонением случайной величины

Зная центральные моменты второго, третьего и четвертого порядка, можно определить асимметрию и эксцесс эмпирического распределения. Асимметрия вычисляется по формуле

Она показывает, насколько эмпирическое распределение ско­ шено влево и вправо. Если А = 0, то эмпирическое распределение симметрично'относительно среднего значения. Если A =f= 0, то может быть или А < 0, или А > 0. Первое неравенство показы­ вает, что кривая распределения имеет правостороннюю, а второе указывает на левостороннюю асимметрию.

Эксцесс случайной величины определяется формулой

е < 0 или е > 0. В первом случае распределение является плоско­ вершинным, во втором — островершинным по отношению к нор­ мальному закону распределения.

На рис. 5 приведены плотности распределения с положитель­ ной и отрицательной асимметрией и эксцессом.

Кривая нормального закона распределения описывается вы­ ражением

о — среднеквадратичное отклонение.

13