Файл: Железнов, Ю. Д. Статистические исследования точности тонколистовой прокатки.pdf

Для уточнения степени отклонения эмпирического распреде­ ления от нормального по полученным значениям А и е необхо­ димо определить доверительный интервал для этих характеристик. Вычисление доверительных интервалов будет предметом изучения в следующих параграфах.

Вычислим теоретический закон распределения по характери­ стикам х и о опыта.

Расчеты приведены в табл. 3.

По данным табл. 3 построены эмпирическая и теоретическая кривые распределения (см. рис. 8).

Рис. 8. Гистограмма; эмпи­ рическая (/), теоретическая <2) и интегральная (3) кри­ вые распределения

20

3. Оценка параметров распределения

При анализе качества тонколистового проката количество замеров не всегда бывает достаточным для определения законов распределения. Но если заранее известен закон распределения, то для определения важнейших числовых характеристик распре­ деления нужно небольшое количество замеров.

Как показывают исследования, проведенные авторами в этой области [4 ], закон распределения разнотолщинности близок к нор­ мальному. Поэтому задача обработки результатов опыта сводится

к определению двух параметров распределения: х и а. Естественно, вычисление параметра распределения на основе

ограниченного числа измерений будет содержать элемент случай­ ности. Полученное таким образом значение параметра называется оценкой параметра.

Статистическая оценка дает хорошие приближения оценивае­ мых параметров, если она несмещенная, эффективная и состоя­ тельная [5].

Если S* есть статистическая оценка неизвестного параметра S распределения, то ее можно рассматривать как случайную вели­

чину с возможными значениями S1S2. • •Sn. Последние являются эмпирическими параметрами разных выборок, извлеченных из генеральной совокупности.

Условие М (S*) = S показывает, что данная оценка является несмещенной, где М (S*) — математическое ожидание оценки S*.

Для получения хорошего приближения несмещенность оценки недостаточна. Дело в том, что дисперсия оценки D (S*) может быть большой. Тогда значение оценки по одной выборке будет сильно отличаться от математического ожидания М (S*) и, сле­ довательно, от самого оцениваемого параметра.

Поэтому к оценке необходимо предъявить требование минимума дисперсии, т. е. D (S*) = min.

Оценка, удовлетворяющая этому условию, называется эффек­ тивной. Если при увеличении объема выборки, т. е. при п —» сю, статистическая оценка по вероятности стремится к оцениваемому параметру, то она называется состоятельной [5]. Для этого доста­ точно удовлетворения условия

lim D(S*) = 0.

Л - » со

Все эти оценки являются точечными, так как они представляют собой точки на числовой оси.

Теперь покажем методику вычисления оценок для математи­ ческого ожидания и дисперсии случайных величин. Пусть имеется случайная величина X с математическим ожиданием т и диспер­ сией D [1 ].

Требуется определить состоятельные и несмещенные оценки для параметров хг и Dr.

21

В качестве оценки математического ожидания примем среднее арифметическое х, которое обозначим через хв:

где хг — математическое ожидание генеральной совокупности. Следовательно, оценка х является несмещенной. Она является

и состоятельной, так как при увеличении п оценка хпсходится по

вероятности с хг.

Дисперсия этой оценки вычисляется по формуле

D (х) = — Dr.

п

Эффективность оценки зависит от закона распределения. Если случайная величина X подчинена нормальному закону распреде­

ления, то значение дисперсии D (х) будет минимальным. Следова­ тельно, оценка х является и эффективной.

Что же касается оценки дисперсии D r, то надо отметить, что статистическая оценка ее является состоятельной [5], так как

Пш D B = Dr, но не является несмещенной, потому что математи- я->со

ческое ожидание выборочной средней не равно оцениваемой гене­ ральной дисперсии:

Исправленная дисперсия теперь является несмещенной оцен­ кой генеральной совокупности. Действительно, из (30) получим, что

22

Следовательно, для оценки среднеквадратичного отклонения можно использовать исправленное среднеквадратичное отклоне­ ние [5], т. е.

В некоторых задачах, связанных с управлением процессом, помимо определения числового значения искомого параметра, необходимо оценить его точность и надежность. Точность оценки определяется доверительными интервалами, а ее надежность— доверительными вероятностями.

Допустим, случайная величина и выборочные средние подчи­ нены нормальному закону распределения. Пусть требуется выпол­ нение следующего соотношения:

Р (| хв —~х |< 6) = а,

где а — заданная надежность (доверительная вероятность).

На основании вычисления вероятности заданного отклонения имеем

P ( \ x - x \ < b ) = 2 F ( ~ y

В последнем выражении запишем х = хв, тогда а = а (хв) =

_ а

~7 т ’

врезультате получим

fij/- п

где у

Тогда б = у. С учетом последнего формула (33) примет

V п

следующий вид:

Р \\xB- x \ < y = y j = 2F(y).

Раскрывая указанный модуль, получим:

Последнее равенство показывает, что с доверительной вероят­

ностью а можно утверждать, что неизвестный параметр х с точ­ ностью б входит в доверительный интервал

23

Число у определяется следующим образом. Так как 2F (у) — а,

то F (у) = — По таблице функции Лапласа находим аргумент у,

которому соответствует величина а/2.

Аналогично определяются доверительные интервалы для дис­ персии.

Пример

Случайная величина генеральной совокупности распределена по нормальному закону. Среднеквадратичное отклонение сг = 0,05.

Найти доверительные интервалы для оценки неизвестного мате­

матического ожидания х по выборочному среднему хв.

Объем выборки п = 49, надежность (доверительная вероят­ ность) а = 0,9, среднее арифметическое имеющейся совокупности

*в = 0,20796.

Ре ш е н и е . Вычислим точность

1Гп

где у — аргумент функции Лапласа.

Вследствие симметричности этой функции аргумент опреде­

Зная выборочную среднюю, можно определить доверительные границы: 0,20796— 0,0117 ^ х ^ 0,20796 + 0,0117.

4. Характеристики многомерных распределений

Выше нами были рассмотрены распределения одного признака. Однако очень часто в прикладных задачах приходится иметь дело со случайными явлениями, возможные значения которых опре­ деляются двумя, тремя, п числами. Такие случайные величины называются соответственно двумерными, трехмерными, п-мерными.

Например, если качество прокатанного листа определяется его продольной Ah и поперечной б/i разнотолщинностью, то мы имеем дело с двумерной случайной величиной (Ah, 6h), если контроли­ руется и форма листа, то имеем трехмерную случайную величину

(Ah, б/i, 6Ф).

Функция распределения системы трех случайных величин определяется вероятностью совместного выполнения трех нера­

34