Файл: Железнов, Ю. Д. Статистические исследования точности тонколистовой прокатки.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 62
Скачиваний: 0
Рис. 5. Графики плотности распределения:
а — с положительной и отрицательной асимметрией; б — с положительным и отрицательным эксцессом
Соответствующая кривая распределения плотности вероятно стей приведена на рис. 6.
Величины х и а называются параметрами распределения. Сле довательно, нормальный закон является двупараметрическим распределением.
Интегральная функция нормального распределения на основа нии формулы (7) определяется так:
л: |
(*-*>* |
|
Г |
(25) |
|
F ( x ) = — —Х |
е 2°г dx. |
Для удобства вычисления вероятности случайные величины нормируют по формуле
у = |
X— X |
(26) |
|
а |
|
Нормальное распределение с параметрами х = 0 и а = 1 на зывается нормальным нормированным распределением вероят ностей (рис. 7). Дифференциальная функция нормального нор-
w(xj
Рис. 6. |
Кривая нормального распре- |
Рис. 7. Кривая нормированного |
деления |
плотности вероятностей |
нормального распределения веро |
|
|
ятностей |
14
мированного распределения вероятностей с учетом (26) выра зится так:
£_
w(y) = |
2 |
|
Тогда интегральная функция распределения определится по формуле
|
1 |
(27) |
|
F(y) = |
^2я ь - |
||
|
Вероятность попадания нормированной случайной величины Y с нормальным законом распределения в интервал (0, у) можно найти с помощью функции Лапласа:
у |
о |
у |
Р (0 < Y < у) = | w (у) d y = J w (у) dy + J w {у) dy = |
||
— оо |
— оо |
О |
|
У |
|
= ~2 |
+ } |
w(y)dy- |
Тогда |
о |
|
|
У |
|
|
|
|
Р (0<К < У ) = 0,5 + |
1 Г |
|
у = |
j е 2 dy = 0,5 + F(y), |
|
о
где F (у) — функция Лапласа.
Вероятность попадания в заданный интервал нормальной слу чайной величины определится интегралом
Р ( а < х < Ь ) = — i = ( e ~ L^ rL dx.
оК 2я-
Нормируя случайную величину, получим
Ь—х
Р< У <
а—х
о
Ъ—х
О
15
|
У 1 |
|
Уг |
|
V2я |
г |
2 dy + T ^ |
dy = F (у2) — F (i/i), (27а) |
|
|
||||
|
О |
|
О |
|
где F (у 2) и F |
(г/j) |
— значения функции Лапласа при |
||
|
|
Ь— х |
И У1: |
а — л: |
|
|
У2: |
|
|
При расчетах вероятности необходимо учитывать нечетность функции Лапласа F (у), т. е. F (— у) = — F {у).
Пример
Случайная величина с математическим ожиданием, равным 24, распределена нормально, а ее среднеквадратичное отклонение
а = 5 .
Вычислить вероятность того, что случайная величина попадает
винтервал (12,32).
Ре ш е н и е. х — 24, а = 5, а — 12, b = 32. Сначала норми руем х :
|
а — х |
12 — 24 |
2,4, |
|||
|
Уг = — |
а |
= |
----£— = - |
||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
У2 = 'Ь — х |
32 — 24 = 1,6 . |
||||
Используя формулу (27а), имеем |
|
|
||||
Р (12 < х < |
32) = |
Р (-2,4 < у < |
1,6) = |
|||
= |
^ (1,6) — F (—2,4) — F (1,6) + |
F (2,4). |
||||
Далее находим |
[1 ]: F (1,6) |
= 0,4452; |
F (2,4) = 0,4918. Тогда |
|||
Р (12 < х < 32) = |
0,937. |
|
|
|
|
|
Необходимо отметить, что, кроме нормального распределения непрерывной случайной величины, приходится иметь дело и с дру гими распределениями, такими как распределение %2, распреде ление Стьюдента, распределения F Фишера, показательные рас пределения и т. д.
Таблицы функций этих распределений приводятся в учебни ках и справочниках по математической статистике.
2. Эмпирическая плотность распределения
иее характеристики
Впроцессе измерения продольной и поперечной разнотолщинности и формы листов и полос мы получаем эмпирические распре деления, этих параметров, которые изменяются от полосы к полосе,
i"
т. е. являются варьирующим признаком. Разность между наиболь шими и наименьшими значениями разнотолщинности называется широтой (размахом) распределения и выражается следующим образом:
При анализе непрерывных случайных величин, которыми являются разнотолщинность полос, рассматривают не отдель ные величины, а их совокупность, входящую в некоторый ин тервал.
Число таких интервалов достаточно брать от восьми до двад цати. При небольшом отклонении от нормального закона рас пределения количество интервалов можно брать от восьми до двенадцати.
Ширина каждого интервала определяется по следующей фор муле:
где R — размах распределения; k — количество интервалов.
Эмпирическое распределение можно представить в виде поли гона, гистограммы и ступенчатой кривой.
ч Для построения полигона на оси абсцисс необходимо отклады вать интервалы значений случайной величины, а в серединах ин тервалов брать ординаты, пропорциональные частостям, после чего соединять концы ординат.
Частость — это отношение числа опытов, попавших в задан ный интервал случайной величины, к общему числу проведенных опытов.
Гистограмма же получается путем построения над каждым интервалом прямоугольника, площадь которого пропорциональна частости в этом интервале. Если учесть, что ширина интервалов одинакова, то высота прямоугольников также пропорциональна частостям.
Ступенчатая кривая строится аналогично гистограмме, только высота прямоугольников пропорциональна накопительной (ин тегральной) частости.
При большом числе измерений для расчета вероятностных ха рактеристик удобно выражать значения всех интервалов в долях ширины интервала. Для этого за начало отсчета, так называемый «ложный нуль», принимается значение, отвечающее середине наиболее многочисленного интервала.
В таком случае середине каждого интервала будет отвечать простое целое положительное или отрицательное число. Для ил люстрации вышесказанных положений приведем пример рас чета вероятностных характеристик 100 измерений разнотолщин
ности. |
Г о ^ |
П б |
и ч ц * Я |
||
2 Ю, Д. Железнов |
Ч |
- |
:иI |
' |
. ; J 7 |
|
|
к а |
. |
с Р |
|
с ,:з е ?.-пг.яр
•’ АЛЬНОГО ЗАЛА
Пример
Результаты измерения разнотолщинности 100 горячекатаных полос сортамента 3,0x1020 мм приведены ниже:
0,25 |
0,15 |
0,20 |
0,20 |
0,24 |
0,17 |
0,13 |
0,27 |
0,22 |
0,19 |
0,13 |
0,17 |
0,18 |
0,21 |
0,16 |
0,19 |
0,16 |
0,25 |
0,14 |
0,19 |
0,23 |
0,22 |
0,16 |
0,20 |
0,19 |
0,23 |
0,19 |
0,14 |
0,09 |
0,19 |
0,21 |
0,27 |
0,17 |
0,18 |
0,25 |
0,20 |
0,24 |
0,12 |
0,18 |
0,22 |
0,17 |
0,18 |
0,10 |
0,23 |
0,20 |
0,26 |
0,26 |
0,25 |
0,08 |
0,15 |
0,24 |
0,18 |
0,24 |
0,29 |
0,20 |
0,29 |
0,21 |
0,18 |
0,17 |
0,22 |
0,24 |
0,22 |
0,15 |
0,21 |
0,20 |
0,21 |
0,27 |
0,21 |
0,12 |
0,20 |
0,16 |
0,20 |
0,19 |
0,20 |
0,37 |
0,24 |
0,30 |
0,28 |
0,18 |
0,23 |
0,15 |
0,14 |
0,19 |
0,22 |
0,21 |
0,15 |
0,20 |
0,13 |
0,21 |
0,19 |
0,21 |
0,11 |
0,23 |
0,23 |
0,18 |
0,22 |
0,36 |
0,23 |
0,18 |
0,17 |
|
|
|
|
|
Вычислить математическое ожидание, среднеквадратичное от клонение и дисперсию разнотолщинности.
Построить гистограмму, определить эмпирическую и теорети ческую плотность распределения, асимметрию и эксцесс.
Р е ш е н и е . Сначала |
находим |
xmln |
= |
0,08; |
xmax = 0,37. |
|||
Размах Я = хтах — хтШ= |
0,37 |
— |
0,08 = |
0,29. |
ширина ин |
|||
Принимаем количество интервалов |
k = |
8. |
Тогда |
|||||
тервала Д = R/k = |
0,29/8 |
= 0,03625. |
|
в |
табл. |
1. |
||
Результаты подсчета частостей |
сведены |
|||||||
Т а б л и ц а 1. Результаты подсчета частостей |
|
|
|
|||||
|
Средне |
Абсолютные |
|
Относи |
Накопи |
|||
Интервалы |
|
тельные |
тельные |
|||||
интервальные |
частости |
|
частости |
частости |
||||
|
значения |
|
пL |
|
* |
|
||
|
и |
|
|
|
p i |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
0,08—0,11625 |
0,98125 |
|
4 |
|
|
0,04 |
0,04 |
|
0,11625—0,1525 |
0,134375 |
|
13 |
|
|
0,13 |
0,17 |
|
0,1525—0,18875 |
0,170625 |
|
20 |
|
|
0,20 |
0,37 |
|
0,18875—0,2250 |
0,206875 |
|
35 |
|
|
0,35 |
0,72 |
|
0,2250—0,26125 |
0,243125 |
|
19 |
|
|
0,19 |
0,91 |
|
0,26125—0,2975 |
0,279375 |
|
6 |
|
|
0,06 |
0,97 |
|
0,2975—0,33375 |
0,315625 |
|
1 |
|
|
0,01 |
0,98 |
|
0,33375—0,3700 |
0,351875 |
|
2 |
|
|
0,02 |
1,00 |
|
|
— |
|
|
100 |
|
|
1,00 |
— |
18
Т а б л и ц а 2. К расчету характеристик эмпирического распределения
|
Среднеинтерваль ные значения |
Отклонение относи тельно середины |
|
j |
|
~ c |
< |
|
|
x i |
|
|
|
|
|
|
_ |
<N co•«* |
|
|
„ |
а» |
|
|
|
|
часто |
|
|
Абсолютные |
сти n. |
аГ
0 ni^i i
co•-»
a> a^ e* c"*
0,098125 |
— 3 |
9 |
—27 |
81 |
4 |
— 12 |
36 |
— 108 |
324 |
0,134375 |
—2 |
4 |
—8 |
16 |
13 |
—26 |
52 |
— 104 |
208 |
0,170625 |
— 1 |
1 — 1 |
1 |
20 |
—20 |
20 |
—20 |
20 |
|
0,206875 |
0 |
0 |
0 |
0 |
35 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,243125 |
1 |
1 |
1 |
1 |
19 |
19 |
19 |
19 |
19 |
0,279375 |
2 |
4 |
8 |
16 |
6 |
12,0 |
24,0 |
48 |
96 |
0,315625 |
3 |
9 |
27 |
81 |
1 |
3 |
9,0 |
27 |
81 |
0,351875 |
4 |
16 |
64 |
256 |
2 |
8 |
32,0 |
128 |
512 |
|
— |
— |
— |
— |
n = 100 |
2 i = - i 6 |
£ 2=192 |
£ з = ~ 5 |
2 4 = 1260 |
По данным табл. 1 построена гистограмма распределения и кривая накопительной частости. Как видно из рис. 8, это распре деление близко к нормальному.
Теперь вычислим асимметрию и эксцесс эмпирического рас пределения, которые характеризуют отклонение последнего от
нормального |
распределения. |
Для удобства |
все расчеты сведем |
в табл. 2. |
«ложный нуль» |
с — 0,206875. |
Из табл. 2 следует: |
Выберем |
|
|
у |
|
|
у |
|
|
|
СЦ= |
п |
= |
—0,16; |
а2 = |
п |
= 1,92, |
||
|
|
|
|
|
|
|||
а3 = |
|
- S i |
= |
-0,05, |
= - S i = |
12,60, |
||
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
ц2 = |
|
D (x) = |
Д2 (а2 — а^2 = |
|
24,96-10'4, |
|||
ц3= |
Д3(а 3 —■Зауя, + |
2a8) = |
|
41,75-10 6, |
||||
щ = Д4 ( « 4 — 4a3a! + 6a2a^ — 3a|) = |
2213,64 •10“ 8, |
|||||||
x = а 1 = а1Д + с = |
-0,16 0,03625 + |
|
0,206875 = 0,201075, |
|||||
D (x) = |
24,96-10-4, |
a (x) = |
5 -10~2. |
|||||
Асимметрия |
A = -Jf- |
= |
= |
|
°'334- |
|||
2 |
19 |