Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

‘,1

=

-

1 +

Т Г

; “!

У з

второй корень — отрицательный. (На рис.

5 по-

,

казан график функции ср (а) для а > 0.)

^ Via)

Теперь ясно,

что

'

а

ср (а) = /' (а)

0,

если

0 <

а -< — 1 +

^

УТ

’

] /3

ср (а) > 0,

если

— 1

4

+

со.

---- -С а <

У 3

-73

На

основании

свойства

12 можно утверж-

дать,

что

f

а)

монотонно

убывает

на

4

и

монотонно

возрастает

на

0, -

1 + - /^3Г

- 1

+ •

+ о о ) .

Рис. Е

У з

Теперь для

доказательства неравенства

а3 + 3а2 + 15 > 13а ( а > 0 )

достаточно показать,

что оно верно

при а0 = — 1 +

_ .

У з

Так как

1 <

— 1 -)---- 4=- < 1,4,

то а3+

За2 + 15 >

19, a 13а <

За3 + 763>>9аЬ2, если а^> 0,

0.

2* .

19

имеет один корень, так как а ^ О

и

0. Поэтому

Р (а) < 0,

если 0 <

а ■< Ь,

Р (а) >

0, если

а > Ь.

Значит, на основании свойства 12

на промежутке [0, Ь\

функ­

ция f (а) монотонно убывает,

а

на [Ь,

+

оо) — монотонно

возра­

стает. Наименьшего значения / (а) достигает

при а =

Ь. Но

f ф) = 3Ь3— 9Ь3-f- 7bs = b3

0, если й

0.

Утверждение задачи доказано.

Рнс. 6

Свойство 13. Если первая

из производных,

не обращающихся

в точке х0 в нуль, есть производная нечетного

порядка, то функ­

ция f (х) не имеет в точке х0

ни максимума, ни минимума. Если

функция f (х) в точке х0 имеет

максимум (минимум), если эта

производная отрицательна (положительна).

Пример 10. Определить корни уравнения

sin4x + c o s 4x =

1 на |^0,

у' = 4 sin3х cos х — 4 cos3х sin х =

=

4 sin х cos x (sin2x — cos2x) = — sin Ax.

Первая

производная обращается' в нуль

в одной точке, принад­

лежащей

А

я \

я

0,

I, а именно в точке х0=

—

Найдем вторую производную / (а):

у" =

— 4 cos 4х;

у"

=

4 >

0.

Следовательно,

на

|^0,

- | - j

в точке

х0=

функция

f (х)

достигает минимума.

Но

П

т

) =51п4

H r

+

cos‘ - £ —

1 =

- 0 , 5 .

Значит,

/

(а) монотонна на

отрезках

л

я

Т

’ ~2

Теперь

ясно,

что

исходное

уравнение

на интервале

|^0,

J

решений не имеет.

Произведение выпуклой

(вогнутой)

функции

на

Свойство

14.

положительную постоянную есть выпуклая (вогнутая) функция.

Свойство

15.

Произведение выпуклой

(вогнутой)

функции

на

отрицательную постоянную есть вогнутая (выпуклая)

функция.

f

Aj “j” X2

f (Xl) +

f (*2)

2

2

/

A, +

A2 \

ф (AX) +

Ф (Ag)

ф V

2

J ^

2

Сложив почленно эти неравенства, получим

^ ^ Аг + а2 j + ^ ^ хг +

х2 ^ ^

[/ (x-j) +

ф (%)] + [/ (*2) + Ф (*2)]

или

ф

Xl + *2 1V.

'Ф (Xl) +

ф (*а)

2

I ^

2

Пример 1 1 . Решить уравнение

\/х — 2 + |/ 3 — х = 1.

4 ____

4_____

выпуклые.

Функции г/i = у х — 2 и у2=

|/3 — х

3],

Функция уг определена на [2,

+ со),

функция у2— на ( — со,

поэтому областью определения функции у — ух + у2 является [2,

3].

Согласно свойству 16 функция у =

уг + у2 является

выпуклой

на [2, 3].

На концах этого сегмента она принимает значения,

равные

1.

График выпуклой функции у = ух -\~У2

(рис. 7) лежит выше хорды

АВ. Но хорда АВ параллельна

оси абсцисс, поэтому корнями дан­

ного уравнения являются только числа

2 и 3.

Свойство

17. Если ср (и) есть вогнутая и возрастающая функция,

a u = f(x)

также вогнута, то и сложная функция <p(f(x))

будет

вогнутой.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Ввиду

вогнутости функции / (х)

и

возра­

стания функции ф(и) имеем

Ф f

2 ~

- j - f (*i) +

f Ы .

-g - Ф [/ (-^i)IЧ—

ф [/ (**)].

Поэтому

окончательно получается

неравенство

Ф /

хх +

х2

^ ф[/(*1)1 + ф[/(*а)1

2

^

2

Аналогичным образом доказываются и следующие свойства слож­

ных функций.

Если

ср (и)

вогнутая и убывающая функция, а

Свойство

18.

u = f(x) — выпуклая,

то и сложная функция г/ = ср [/ (х)] вогнутая.

Свойство 19. Если ср (и) выпуклая

и

возрастающая

функция,

а

и = f (х) — выпуклая,

то и функция

г/ =

ср [/ (х)] выпуклая.

а

Свойство 20. Если ср (и) выпуклая

и убывающая

функция,

и = f (х) — вогнутая,

то и функция у = ср [/ (х)\ выпуклая.

Квадратный трехчлен

— х2 + 3х — 2

имеет корни 1 и 2. Поэтому

— х2 + Зх — 2 > 0 на (1,

2) и функция