Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Упраж нения

Построить графики функции:

1- У— л.а ]_ j ■

2.

(/=

log2|x — 3 |.

3. i/ = sinx2.

4.

г/ =

sin

1

.

5.

у = log2 cos х.

6. у = 2C0SJ\

7.

у = sin0 х + cos6а.

ниями:

1)

У = ( х — 1) • |х — 2|; 2) у =

^ ^ | ;

3) ff = "' i +

xa

;

4 ) у = 1 ^ = Т - 2 ;

6 ) у =

/ 2 (а + | а -

2 |)

;

7)

у =

2*-1*1; 8) у = arcsin -j- ;

9) у — — )Л/2 + 1 -(- 3-r;

10)

у =

2х1~ 3х+2.

У > Iog2x,

У < 2-

5.

Построить графики функции у = Iog2x, у = 4х ,

х = 1 (в одной и той ж

системе координат). Заштриховать ту часть координатной

плоскости, точки ко­

торой удовлетворяют системе неравенств:

9.

Привести примеры функций,

определенных на сегменте [0, 1].

'10.

Привести примеры функций,

заданных на (— со, + о о ).

11.

Привести примеры функций,

не определенных на промежутке [0, 1].

12.

Некоторая функция задана на (— 1, 2) и принимает только положитель­

ные значения. Может ли она быть четной?

13.

Привести пример функции,

определенной только в одной точке х = 1.

3*

35

Тождественное преобразование

отдельных частей

данного

выражения

Пример 1. Доказать тождество

У т + х + У т — х

п

У т + х — У т — х

если

2тп

х — п2 + 1 ,

т > 0, 0 < п < 1.

Упростим сначала левую часть равенства:

У т + х + У т — х

( У т + х + У т — х)2

]/ т + х — У т — х

(У т + х)2— ()/ т — х)2

_ 2т + 2 У т2— х2

2 ( т + у т2 — х2)

т + У т 2 — х2

— (т + х) — (т — х)

2х

х

Далее,

т 4—

2

_

т “

4т 2п2

т '

1

. 4п2

Х‘

(п2+ I)2

(/г2 +

I)2

= т 2

(/г + I)2 (1 — /г)2

(п2 +

I)2

Так как

0 < п < 1

и т > 0 , то

( „ + ! ) ( ! _ „ )

т (1 — п2)

У т 2 — х2 = т ■

п2+ 1

п2+

1

Находим

т (1 — п2)

1 — п

т + У т2— х2 = т +

//г

1 +

п2+ 1

п2+ 1

2

= т- п2+

1

'

т + |//л 3— х2

_

tr +

1

1

x

~~ 2mn

~

n ’

что и требовалось доказать.

~n2 +

1

Применение

производной

стоянна на

отрезке [а, Ь\.

Пример 2. Доказать

тождество

2 (sin6х +

cosGx) — 3 (sin4x + cos4x) + 1

=

0.

Будем рассматривать

левую часть

равенства

как функцию от х:

/ (х) =

2 (sin6x + cos°x) — 3 (sin4x +

cos'Jx) +

1. Вычислим f (x):

f

(x) =

1 2 sin6x c o s x — 1 2 cos6x s i n x — 1 2 sin3x c o s x +

1 2 cos3xsinx =

=

12 sin x cos x [(sin2x — cos2x) (sin2x +

cos2x) — (sin2x — cos2x)] =

0.

Следовательно, f{x) —

const на (— oo,

+ со).

Но

/(0) =

0, поэ­

тому f(x) — 0 на (— oo,

+ oo).

Утверждение задачи

доказано.

Применение теоремы о многочлене,

тождественно

равном нулю,

к доказательству тригонометрических тождеств1

Теорема

1. Если многочлен /И(sin х, cos х),

однородный

относи­

тельно sin х и cos х

степени п, обращается в нуль

при п + 1 зна­

чениях аргумента х,

отличающихся

друг

от

друга

на числа,

не

кратные я, то M(s\nx,

cosxj =

0.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

М. (sin х, cos х) =

апsin " х + ап-

1 sin "- I x cos х +

. . . +

+

sin х c o s 'Jx + а0cos"x.

(1)

Пусть

М (sin а;.,

cosa;.) = 0,

где

х =

(/ ■= 1,

2, . . . ,

п +

1),

причем корни отличны не на я.

М (sin а7, cos a/) =

апsin" сi} + an-i'sin"-1^- cos a;- + . . .

+

+ axsin ayсоsn~ laj + a„ cos"aj =

0.

(2)

1 Материал для этой части параграфа заимствован из статьи: Э. А.

Я сн но­

в ый . «Применение теоремы о многочлене, тождественно равном нулю,

к доказа­

тельству тригонометрических тождеств»

(«Математика в школе»,

1959,

№ 2).

Рассмотрим случай, когда ни одно

из

чисел

зх (2k -f 1).

Разделив обе части равенства (2)

на

c o s " a получаем:

апtg"a. +

ап-\ tg"-1^

+

• • •

+

ахtg a; +

а0=

0.

(3)

Рассмотрим многочлен

Р (z) = апгп+ an-\zn~x+

. . . +

ахг +

а0.

Равенство

(3)

показывает,

что

этот

многочлен степени п обра­

щается в нуль при п 4- 1 значениях аргумента z, а именно при

tgcti, tg a2,

. . . ,

tg a n+1.

Эти значения z все различны, так как по условию теоремы раз­

ность между

любыми

двумя

из

углов

а;.

не

кратна

л.

Отсюда

Р (z) з= 0, т. е. М (sin х,

cos х) = 0.

одно

из чисел

af

имеет

вид

Рассмотрим теперь случай,

когда

ЗХ (2£+1) .

При этом

значении

а,.

равенство

(2) принимает

вид

a„sin"a;. = 0,

откуда

ап — 0, так как

sina;.^= 0.

так:

Таким образом,

многочлен

(1)

можно

записать

Al(sin.v, cosjc) =

cos х(ап_\ sin"-1 х -f- an_2sinn_2A:cosx -f-

. . . +

+ axsin x cosn_2x: +

a0cos',_Ix).

(4)

Заметим,

что

если

среди

чисел

<х;.

имеется

одно

число

вида

ЗХ

~2 ~{%k+ 1), то оно является единственным, так как если бы среди

чисел йу имелось еще одно число такого

вида,

то

тогда разность

между этими двумя числами была

бы кратна я, что противоречит

условию теоремы.

обращающих данный

многочлен в нуль,

Из п + 1 значений х,

исключим значение, имеющее вид

ЗХ

Остальные п значе­

ний обращают в нуль многочлен (4). Но

так

как

среди них нет

ЗХ

1), то при этих

п значениях х обращается

значений вида -g —(2А +