Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Т а б л и ц а 1

ф(ы)

“ = /(•*)

Ф[/ W]

1

Вогнутая,

возрастает

Вогнутая

Вогнутая

2

Вогнутая,

убывает

Выпуклая

Вогнутая

3

Выпуклая,

возрастает

Выпуклая

Выпуклая

4

Выпуклая,

убывает

Вогнутая

Выпуклая

определена на (1, 2).

Функция у = lg и — воз­

Функция и — — х2 + 3х — 2 выпуклая.

растающая и выпуклая. Следовательно, и функция

у = lg (— х2 + Зх — 2)

выпуклая (см. п. 3 табл. 1).

взаимно обратные функ­

Свойство 21. Если y = f(x) и У — g(x)

вого и третьего координатных углов.

в

п. 1 табл.

2 (другие

Докажем

утверждение,

содержащееся

положения таблицы доказываются аналогичным образом).

Обозначим f (xj) = ylt

f (x2) = y2.

определению

вогнутой

Поэтому

x1 = g(y1)

и

x2 = g(y2). По

функции

f (

*i + *2

\ ^

/(*х) + /Ч*а)

__

Уг + У%

1

2

1

2

2

По свойству

7

Ух + Уъ

хх + х2

g(gi) + g(ga)

2

2

что и доказывает выпуклость функции g(y).

Пример 12. Исследовать

на

выпуклость (вогнутость) функцию

У =

М + 2 .

Эта функция определена

на [— 2, +

со). Возведя обе

части

уравнения в квадрат, получаем

отсюда х = г/2 — 2 .

У2= х + 2,

+ оо) и является

обрат­

Функция у = х2— 2 определена на [0,

ной к функции

У=

]/~х -f- 2.

вместе со своей производной f (х) на [а, Ь]

и имеет на

(а, Ь) ко­

нечную производную f"(x).

Для выпуклости функции f(x)

на [а, Ь\

необходимо и достаточно, чтобы на (а, Ь)

было f" (х) ~<) 0.

Пример 13. Исследовать

на выпуклость

(вогнутость)

функцию

х2— Зх -f- 2

( 1)

У= In

\

х

удовлетворяют

неравенству

х2— Зх + 2

О или

(х — 2) (я — 1)

> 0 .

(2)

х -|- 1

X -|- 1

Числитель

левой

части

этого

неравенства

положителен

на

(— со, 1) и (2,

+ оо);

знаменатель — на (— 1, + оо)

Функция Ух = — —-j— вогнутая,

поэтому и и = х — 4Н-----

X “у- 1

X ~р 1

х + 1

(2х — 3) (х + 1) — (х2 — Зх + 2) • 1

х2 — Зх -|- 2

(* + 1 )2

(Х-2)(х-П

(Х-2) (Х-1)

+ Н—1"+ + + + + ++ + ++

+ + + + ++ + + ++ +

-/

. •

0 1

2 '

X

+ + + + + + ++ + + + + + + ++ +

х + 1

Рис. 8

_

х2-+- 2х — 5

(2х + 2) (х2 — Зх +

2) (х + 1) — (х2 + 2х — 5) [(2х— 3) (х + 1) +

»/

■+■(х2— Зх + 2) • 1 ]

J ~

[(х2- 3 х + 2) ( х + 1)р

— х4— 4х3 + 18х2 — 16х — 1

“

(х— 1)2(х — 2)2( х + 1)а

г/2 < — х4— 4х3 + 18х2 — 16х = — х (х3 + 4х2 — 18х + 16).

Покажем,

что функция

у3 = х3 + 4х2— 18 х +16

положительна

на (2, + со).

Найдем экстремальные точки функции у3

г/g = Зх2 + 8х — 18.

Корни квадратного трехчлена не принадлежат (2, + со).

В точке

х = 2

функция у3 положительна: при х->- + оо г/3->--|-оо,

поэтому

г/3 на

(2,

со) положительна.

У = In

+

1

х

отрицательна и, следовательно, эта

функция на (2, + °°) выпу­

клая.

Т а б л и ц а 3

y = f W

У= ч>(*)

у = ФМ

1

Положительная,

возра­

Положительная,

возра­

Положительная,

воз­

стает,

вогнутая

стает,

вогнутая

растает, вогнутая

2

Положительная,

убы­

Положительная,

убывает,

Положительная,

во­

вает,

вогнутая

вогнутая

гнутая

3

Отрицательная,

возра­

Отрицательная,

возра­

Положительная,

во­

стает,

выпуклая

стает,

выпуклая

гнутая

4

Отрицательная,

убы­

Отрицательная,

убывает,

Положительная,

во­

вает,

выпуклая

выпуклая

гнутая

5 Положительная, убы­

Положительная,

возра­

Положительная,

вы­

вает,

выпуклая

стает,

выпуклая

пуклая

6

Отрицательная,

возра­

Отрицательная,

убывает,

Положительная,

вы­

стает,

вогнутая

вогнутая

пуклая

7

Положительная,

возра­

Отрицательная,

возра­

Отрицательная,

во­

стает,

выпуклая

стает,

вогнутая

гнутая

8

Положительная, убы­

Отрицательная,

убывает,

Отрицательная,

во­

вает,

выпуклая

вогнутая

гнутая

9

Положительная,

возра­

Отрицательная,

убывает,

Отрицательная,

вы­

стает,

вогнутая

выпуклая

пуклая

10

Положительная, убы­

Отрицательная,

возра­

Отрицательная,

вы­

вает,

вогнутая

стает,

выпуклая

пуклая

Преобразуем

уравнение

к

виду

у = х2 (х2— х + 1).

Квадратный

трехчлен

х2— д: + 1

не имеет действительных

кор­

ней. Поэтому

х2— х + 1 >

0 при всех

действительных значениях х.

Таким

образом,

функции

ух = х2

и у„ = х2—

1

вогнутые

и положительные.

Наименьшего значения функция у2 достигает при

х = 0 , 5 , на

(1,

+ оо) она возрастающая. Поэтому на

(1, +

со)

функция у

вогнутая.

Упражнения

1.

Функции cp(.v) и f (х) положительные и выпуклые.

Какими еще свойствами

должны обладать эти функции,

чтобы функция у = f (х): ср (х)

была выпуклой?

2.

Функция ср (.v) — отрицательная,

/ (х) — положительная.

Какими еще свой­

ствами должны обладать эти функции,

чтобы функция у = f (х) ■q> (л) была вы­

пуклой?

f

(х) — отрицательная,

выпуклая

и

возрастающая.

Что можно

3.

Функция

сказать о функции

tp(.v),

если функция у = f (х): <р(х)

выпуклая?

еще

можно ска­

4.

Функции / (х) и ср (х) — выпуклые и отрицательные.

Что

зать об этих функциях,

если функция у = f (х): ср (х)

вогнутая?

5.

Исследовать на выпуклость (вогнутость) функцию у =

1

: / (х).

6.

Функция f{x)

положительная. Каким еще свойством обладает эта функция,

если

функция

у =

j/ / (х) выпуклая

(п — натуральное число)?

7.

Функция у = [ / (лг)]п выпуклая

(я — натуральное число).

Что

можно ска­

зать о функции / (х)?

(х),

где а и Ь — постоянные, — вогнутая; / (х) —

8. Функция

y = ( a x + b ) - f

возрастающая и вогнутая. Что можно сказать о функции

г/1 =

а х + 6 ?

9. Доказать,

что функция

с/=

(12 — х) V х — 4 +

У 10 — х вогнутая.

10. Исследовать на выпуклость и вогнутость функцию y =

Y — х2-f-х +

2.

11. Исследовать на выпуклость и вогнутость функцию

У =

X s

X— 1

•

12.

Определить промежутки, на которых функция у =

(Э _

^

^

вы­

пуклая .

13. Доказать,

что на промежутке (1, 2)

функция

у =

(х — I)-1 — 2(х — 2)~ 1

вогнутая.

14.

Доказать,

что функция у =

У х 2+

1 — У х 2 — 1 вогнутая.

§ 2 .

О п р е д е л е н и е э к с т р е м а л ь н ы х

з н а ч е н и й

фу нкций

э л е м е н т а р н ы м и с р е д с т в а м и