Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

Ч А С Т Ь П Е Р В А Я

ПЛАНИМЕТРИЯ

§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

Геометрия — это наука о свойствах геометрических фигур. Слово «геометрия» греческое. В переводе на русский

А О

Рис. 1.

язык обозначает землемерие. Такое название связано с при­ менением геометрии для измерений на местности.

Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность (рис. 1).

Рис. 2.

Геометрические фигуры бывают весьма разнообразны. Часть любой геометрической фигуры является геометриче­ ской фигурой. Объединение нескольких геометрических фигур есть снова геометрическая фигура. На рис. 2 фигура

15

слева составлена из треугольника и трех квадратов, а фи­ гура справа состоит из окружности и частей окружности. Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе

дят малым кружком. Точки принято обозначать пропис­

Точка С лежит и на прямой а и на прямой Ь. Прямые а и

11.Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие прямой, и точки, не принадлежащие прямой.

12.Каковы бы ни были две точки, существует и притом только одна прямая, проходящая через эти точки.

16

Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней. Например, прямую а на рис. 4 можно обозначить АС, а прямую b можно обозначить ВС.

Так как через две точки можно провести только одну прямую, то две различные прямые либо не пересекаются либо пересекаются только в одной точке. Если бы они имели две точки пересечения, то через эти точки проходили бы две

А, В, С. Точка В лежит между точками Л и С. О таком расположении точек Л, В, С мы будем говорить, что точки Л и С лежат по разные стороны от точки В. Можно ска­ зать также, что точка В разделяет точки Л и С. Точки Л и В лежат по одну сторону отточки С, они не разделяются точ­ кой С. Точки В и С лежат по одну сторону от точки Л.

Посмотрите на рис. 7. Точка Л разбивает прямую а на две части — полупрямые. Точки В и С лежат на одной полу­ прямой. Они не разделяются точкой Л. Точки В и D лежат на разных полупрямых. Они раз­ деляются точкой Л. Точка Л, про­ изводящая деление прямой а на полупрямые, называется начальной точкой полупрямых. Сами полу­ прямые называются дополнитель­ ными. Полупрямую называют так­

же лучом.

Полупрямые обозначаются строчными латинскими буква­ ми. Можно обозначать полупрямую двумя точками: на­ чальной точкой и еще какой-нибудь ее точкой. При этом начальная точка ставится на первом месте. Например, точка Л разбивает прямую а (рис. 7) на две полупрямые, ЛВ и AD.

Пусть на прямой а лежат точки Л и В (рис. 8). Отрезком А В называется часть прямой а, точками которой являются

В самом деле, отметим какую-нибудь точку X на отрезке АВ (рис. 8). Она лежит между точками Л и В. Значит, точка А не лежит между точками X и В, так как из трех точек А, X и В только одна лежит между двумя другими. Таким образом, точка А не разделяет точки X и В. Это значит, что точка X принадлежит полупрямой ЛВ, а не ее допол­

нению.

Посмотрите на рис. 9. Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости. Точки Л и В лежат в одной полуплос­

В самом деле, отрезок ВХ мог бы пересекать прямую а только в точке Л. Но точка Л не принадлежит отрезку ВХ, так как она не разделяет точки В

и X.

Так как отрезок ВХ не пере­ секается с прямой а, то точка X

Так как отрезок АВ является частью полупрямой АВ, то получается следующее свойство.

18

1.4. Если через конец А отрезка АВ провести прямую а, не проходящую через точку В, то весь отрезок АВ будет а одной полуплоскости относительно прямой а. Именно, он будет в полуплоскости, где лежит его конец В.

Основными свойствами расположения точек на прямой и плоскости мы будем называть следующие три свойства.

Ilj. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Нг. Точка, лежащая на прямой, разбивает прямую на две полупрямые. Точки одной полупрямой не разделяются точ­ кой, производящей деление. Точки разных полупрямых раз­ деляются этой точкой.

П3. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полу­ плоскости, то отрезок не пересекается с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекается с прямой.

Основные свойства измерения отрезков и углов. Для

Рис. И.

равен 10 см, отрезок АС равен 6 см, отрезок ВС равен 4 см, Длина отрезка А В равна сумме длин отрезков АС и ВС.

Основными свойствами измерения отрезков мы будем называть следующие свойства.

АС и ВС.

Углом называется фигура, которая состоит из двух раз­ личных полупрямых с общей начальной точкой. Эта точка называется вершиной угла, а полупрямые сторонами угла. Если стороны угла являются дополнительными по­ лупрямыми одной прямой, то угол называется развер­ нутым.

19