Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

она пересекает плоскость основания (рис. 218). Если пря­ мая а пересекает окружность основания в двух точках Р и Q, то плоскость а пересекает боковую поверхность по об­ разующим PS и QS. Если прямая касается окружности основания, то плоскость а касается боковой поверхности. Если плоскость а не пересекает окружность, то она не имеет других общих точек с конусом, кроме вершины.

Пусть теперь р — плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекающая конус. Преобразование гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость Р с плоскостью основания, совмещает сечение конуса пло­ скостью р с основанием конуса. Следовательно, сечение конуса плоскостью Р есть круг, а сечение боковой поверх­ ности — окружность с центром на оси конуса. Теорема доказана.

Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пира­ мида, основание которой есть многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, а вершиной является вер­ шина конуса (рис. 219, слева). Боковые ребра пирамиды,

вписанной в конус, являются образующими конуса. Пира­ мида называется описанной около конуса, если ее основа­ нием является многоугольник, описанный около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса (рис. ,219, справа). Боковые грани описанной пирамиды являются ка­ сательными плоскостями конуса.

Шар. Пусть О — произвольная точка и R — любое по­ ложительное число. Тело, точками которого являются все точки пространства, которые удалены от точки О на расстоя­ ние, не большее R, называется шаром. Точка О называется

центром шара, а число R — радиусом шара. Граница шара

189

называется шаровой поверхностью или сферой. Таким обра­ зом, точками сферы являются те точки шара, которые уда­ лены от центра на расстояние, равное радиусу. Отрезок, со­ единяющий центр шара с любой точкой шаровой поверхно­ сти, также называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности, проходящий через центр шара, называется диаметром. Концы любого диаметра

центр шара (рис. 220). Опустим перпендикуляр из центра шара на плоскость а и обозначим через О'

основание этого перпендикуляра. Пусть X — произвольная точка шара, принадлежащая плоскости а. По теореме Пи­ фагора (0Х)2 = (00')2 + (0 '^ ) а- Так как ОХ не больше ра­ диуса R шара, то О'Х R2—(ОО')2, т. е. любая точка сече­ ния шара плоскостьюа находится на расстоянии, не большем

который получается в сечении шара плоскостью а,

Я '= /Я * _ ( О О ')* .

Отсюда видно, что круг в сечении плоскостью а будет тем больше, чем ближе плоскость а от центра шара, т. е. чем меньше ОО'. Наибольший круг получается в сечении пло­ скостью, проходящей через центр шара. Радиус этого круга равен радиусу шара. Равноудаленные от центра плос­ кости пересекают шар по равным кругам.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется

шара является его плоскостью симметрии. Центр шара явля­ ется центром симметрии.

190

Из равенства прямоугольных треугольников ОАХ и ОАХ'

точки шаровой поверхности можно провести окружность большого круга и притом только одну.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть О — центр шара и А, В — данные две не диаметральные точки его поверхно­ сти (рис. 222). Проведем через точки А,О,В плоскость а. Плос­ кость а пересекает шар по боль­ шому кругу. Окружность этого круга проходитчерез точки А и В.

Другой такой окружности, проходящей через точки А а В, быть не может. Действительно, плоскость а' соответствующего большого круга должна прохо­ дить через точки А, В и О. Атак

как точки А, В, О не лежат на одной прямой, то через них проходит единственная плоскость, т. е. плоскость а. Тео­ рема доказана. .

Т е о р е м а 27.6. Любые две окружности больших кру­ гов шара пересекаются и притом в двух диаметрально про­ тивоположных точках.

Действительно, плоскости больших кругов имеют об­ щую точку (центр шара) и, следовательно, пересекаются по некоторой прямой, проходящей через центр шара. Точки

191

пересечения этой прямой с поверхностью шара являются точками пересечения окружностей больших кругов. Теоре­ ма доказана.

Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверх­ ности перпендикулярно радиусу, проведенному в точку А,

называется касательной плос-'

костыо. Точка А называется точ­ кой касания.

Т е о р е м а 27.7. Касательная плоскость шара имеет с шаром только одну общую точку — точку касания.

До к а з а т е л ь с т в о . Пусть

а— касательная плоскость к шару

иА — точка касания (рис. 223). Возьмем произвольную точку X плоскости а, отличную от А. Так

как О А— перпендикуляр, а ОХ наклонная, то ОХ > О Д = = R. Следовательно, точка X не принадлежит шару. Теоре­ ма доказана.

Прямая, проходящая через точку А шаровой поверх­ ности перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку,

называется касательной.

Т е о р е м а 27.8. Через любую точку А шаровой поверх­ ности проходит бесчисленное множество касательных-, все они лежат в касательной плоскости шара.

Действительно, пусть а — касательная плоскость шара

вточке А (см. рис. 223). Тогда любая прямая в плоскости

а, проходящая через точку А, перпендикулярна радиусу ОА и, следовательно, является касательной. Любая каса­ тельная, проходящая через точку А, перпендикулярна ра­ диусу ОА, а следовательно, лежит в плоскости а.

Упражнения

1. Доказать, что плоскости, проходящие через ось цилиндра, яв­ ляются его плоскостями симметрии.

2.Доказать, что цилиндр есть тело вращения, именно, любое вра­ щение около оси цилиндра совмещает цилиндр с самим собой.

3.Доказать, что пересечение боковых поверхностей двух равных цилиндров с пересекающимися осями лежит в двух перпендикулярных - плоскостях.

4.Доказать, что середины параллельных отрезков с концами на боковой поверхности цилиндра лежат в плоскости, проходящей через ось цилиндра.

5.Доказать,- что конус есть тело вращения, именно, любое вра­ щение около оси конуса совмещает конус с самим собой.

192

6. Доказать, что боковая поверхность конуса равна 5 /co sa , где S — площадь основания конуса, а а — угол между основанием и обра­ зующими.

7.Доказать, что середины параллельных отрезков с концами на боковой поверхности конуса лежат в плоскости, проходящей через вершину конуса.

8.Доказать, что геометрическое место оснований перпендикуля­ ров, опущенных из данной точки А на плоскости, проходящие через дан ную точку В, есть шаровая поверхность.

'9. Доказать, что геометрическое место середин параллельных отрезков с концами на шаровой поверхности есть большой круг.

10.Доказать, что пересечение двух шаровых поверхностей есть окружность.

11.Доказать, что если любая плоскость, проходящая через точку О тела, является плоскостью его симметрии, то это тело есть шар.

§28. ОБЪЕМЫ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Общее определение объема. В § 26 мы рассмотрели объем простого тела, т. е. тела, допускающего разбиение на ко­ нечное число треугольных пирамид. Объем такого тела есть сумма объемов треугольных пирамид, из которых оно сос­ тавлено. А объем треугольной пирамиды определяется по

формуле У= -^- SH. Теперь, отправляясь от объемов про­

стых тел, мы определим понятие объема для любого тела. Объемом тела Т мы будем называть число V, обладающее

следующими свойствами:

1) число V не больше объема любого простого тела, содер­ жащего данное тело Т ;

2) не существует числа, большего V, обладающего свой­ ством 1 ).

Таким образом, число V есть наибольшее из чисел, обла­ дающих свойством 1). В случае простого тела данное опре­ деление приводит к прежнему значению объема, так как среди простых тел, содержащих данное тело, есть оно само.

Отметим некоторые свойства объема, непосредственно вытекающие из его определения.

Если тело Т х содержится в теле Т г, то объем тела Т х не больше объема тела Т ». Действительно, всякое простое тело, содержащее тело Т 2, содержит и тело Tt. Поэтому его. объем не меньше объема V, тела Т г. А объем V2 тела Т * есть наибольшее число, обладающее этим свойством. Сле­ довательно,

Если тела Т\ и Т 2 равны, то их объемы равны. Действи­

193