Файл: Невский, М. В. Квазианизотропия скоростей сейсмических волн.pdf

Горизонтальная проекция отрезка луча в k-м слое на линию профи­ ля наблюдения определяется формулой

ЛХк 2Hktg0k

Как было показано, сейсмический луч отраженной волны для рас­ сматриваемой модели среды симметричен относительно перпендикуляра! проведенного в точке отражения к отражающей границе. Поэтому для получения полного времени пробега по лучу от источника до приемника следует просуммировать времена ЛТk и полученную сумму удвоить. То же следует сделать и для величин АХ ^ В результате получим

п211,

Т- 2 _____________

k=l vk(0k)cos0k '

п

X = 2 2Нк tg 6>к.

к = 1

Последние выражения в принципе описывают зависимость времени пробега отраженной волны от расстояния до источника. Однако для вы числения годографов они неудобны по ряду причин. Во-первых, в попе­ речно-изотропной среде лучевые скорости не выражаются в явном виД

через эффективные упругие параметры V^pk, крк, *SHk’ >Ц_к и ^ ки угол #к , что создает трудности при расчетах. Во-вторых, в указанны формулы входят значения углов преломления в каждом слое вк, связь1 между которыми, как показано, достаточно сложна. Для получения уравнений годографа в форме, удобной для вычисления, следует прежД

тельно получаем параметрические уравнения годографа отраженных вd в виде:

82

Последние формулы дают параметрическое представление годографа отраженной волны для случая многослойной поперечно-изотропной по­

фа отраженной волны для изотропной покрывающей среды.

Формулы (3 .8 ) справедливы для всех типов волн в поперечно-изо­ тропных средах: Р, SV и SH Различие состоит лишь в том, что для вычисления их годографов следует выбирать соответствующие зависи­

в функции параметра р по указанным формулам можно после некоторых

Подставляя полученные выражения в уравнения (3 .8 ), окончательно получим:

где параметр p определяется формулой (3 .4a). Уравнения (3 .9 ), яв­ ляющиеся частным случаем уравнений (3 .8 ), соответствуют случаю эллиптической анизотропии и тождественны уравнениям И.И. Гурвича

волн для многослойной поперечно-изотропной среды. При этом задача вычисления точек годографа сводится к вычислению функций Т(р) и

83

ОТРАЖЕННЫХ ВОЛН ПРИ НЕБОЛЬШИХ УДАЛЕНИЯХ ОТ ИСТОЧНИКА

Найденные уравнения годографов отраженных волн для рассматрива­ емой модели поперечно-изотропной среды оказываются достаточно слож­ ными, в особенности для Р и SV волн. Для некоторых важных в прак­ тическом отношении случаев эти уравнения можно значительно упро­ стить. Так, существенное упрощение (3 .8 ) можно получить для случая небольших углов падения 9 т.е. для небольших по сравнению с глуби­ ной залегания отражающей границы удалений от источника X Как из­ вестно [9 1 , 1 0 0 ], этот случай наиболее характерен для стандартных модификаций метода отраженных волн.

Рассмотрим вначале приближенные уравнения годографа отраженных Р волн для небольших углов падения в ^ В главе Н было показано, что индикатрисы лучевых скоростей Р волн для углов в < 2 0 -2 5 ° пред­

ющей толще не превосходит 2 0 -2 5 °, уравнения для нормальной скоро­ сти в k-м слое можно записать в виде

Подставляя это уравнение в формулы (3 .8 ), после необходимых пре­ образований получим приближенные уравнения годографа отраженных Р волн, справедливые для небольших удалений от источника,

Аналогично можно получить и приближенные уравнения для годогра­

84

Уравнения (3 ,1 1 ) существенно проще общих уравнений (3 .8 ), од­ нако они являются параметрическими. Известно, что представление го­ дографов в параметрическом виде неудобно по ряду причин 1 1 0 1 ]. Прежде всего это затрудняет аналитическое исследование их свойств, а следовательно, и выбор наиболее рациональных схем интерпретации. Поэтому желательно найти представление годографов (хотя бы прибли­ женное) в явном виде Т=Т(Х), При небольших по сравнению с глуби­ ной залегания границы удалениях от источника уравнения годографа можно записать в виде ряда Маклорена. Такое представление известно

При этом для вычисления производных Тр и Хр и производных более высоких порядков при р »0 удобно использовать приближенное представление для нормальной скорости (3 .1 0 ). Выкладки, необходи­ мые для этого, хотя и громоздки, приводят к весьма простому резуль­ тату. Так, для случая Р волн, ограничиваясь членами не выше чет­ вертой степени относительно X, имеем

Для исследования точности представления годографов по формулам (3 .1 2 ) вычислим следующий член разложения. Поскольку ряд (3 .1 2 ) оказывается знакочередующимся, можно считать, что остаток этого

85

ряда Н(Х) по абсояютной величине не превосходит последнего члена разложения, т.е.

зывает, что полученные приближенные представления для годографов отраженных волн в поперечно-изотропной среде (3 .1 2 ) дают достаточ­ ную для практики (стандартные модификации МОВ) точность даже для сравнительно сильно дифференцированных по скоростям слоистых " поперечно-изотропных сред.

В заключение отметим, что влияние анизотропии скоростей на годо­ графы отраженных волн SV и Р при небольших удалениях от источни­ ка определяется кажущимися коэффициентами анизотропии кр и Это означает, согласно формулам (2 ,2 8 ) и (2 .2 9 ), что для годогра­

фов продольных волн влияние анизотропии при небольших удалениях от источника определяется параметрами ^ и К, а для волн SV - пара­ метрами у , К и кр

3.ГОДОГРАФЫ ОТРАЖЕННЫХ

ДЛИ НЕКОТОРЫХ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ СТРОЕНИЯ

ПОКРЫВАЮЩЕЙ ТОЛЩИ

Полученные уравнения годографов отраженных волн для многослой­ ной поперечно-изотропной среды громоздки и сложны для аналитиче­ ского исследования основных особенностей годографов. Удобнее про­ вести такие исследования для более простых моделей сред. С этой целью мы рассмотрим случай однородного поперечно-изотропного слоя на полупространстве и случай двухслойной покрывающей среды, когда

86