Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf

Г Л А В А 4

МЕТАЛЛЫ И ОБЩИЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

§ 4.1. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ

ИЯВЛЕНИЕ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ

4.1.1.КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНОВ В МЕТАЛЛЕ

По классическим представлениям считалось, что металл состоит из положительно заряженных ионов, расположенных неподвижно в определенных местах кристаллической решетки, и из свободных электронов проводимости. Такие свободные электроны двигаются между ионами с небольшим сопротивлением, которое объясняется их слабым взаимодействием с ионами решетки. Предполагалось далее, что свободные электроны в металлах уподобляются молеку­ лярному газу, заполняющему решетку металла. Поэтому к такому электронному газу может быть применима классическая статистика Максвелла—Больцмана и может быть введено понятие о средней

длине свободного пробега электрона А. Классическая теория пола­

гает, что А не зависит от скорости электрона и по порядку величины сравнима с постоянной решетки металла.

Основываясь на представлениях классической электронной тео­ рии, предположим, что в металле на беспорядочное тепловое движе­ ние электронов накладывается направленное движение за счет

внешнего электрического поля” напряженности <§. Тогда на длине

свободного пробега А электрон с массой т и зарядом е приобретает скорость направленного движения, равную

где х — среднее время движения на пути А; а — ускорение за счет внешнего электрического поля

Очевидно, что средняя скорость направленного движения будет

1 '

равна v = — о, а среднее время

96

Поэтому, учитывая (4.1.3) и (4.1.2), вместо (4.1.1) может записать

С другой стороны, как известно (см. § 2.5), средняя скорость направленного движения электронов связана с их подвижностью и простой формулой

Сравнивая (4.1.4) и (4.1.5), получим выражение для подвижно­ сти электронов в металле

Если теперь учесть, что плотность тока у (см. § 2.6) связана с подвижностью и концентрацией п электронов выражением

/ = etiuS,

то на основании (4.1.6) получим

2т ^тепл

Известно также, что по закону Ома в дифференциальной форме

где а — удельная электропроводность металла, связанная с его удельным сопротивлением р — 1/а.

Отсюда, сравнивая (4.1.7) и (4.1.8), для удельной электропровод­ ности металлов получаем выражение

2т Втепл

Проанализируем теперь выражение (4.1.9), к которому приводит классическая электронная теория металлов.

Так как для свободных электронов в металле применима ста­ тистика Максвелла—Больцмана, то средняя скорость теплового движения (см. § 1.2) может быть представлена формулой

Если также учесть, что К и я не зависят от температуры, то зави­ симость а от температуры согласно (4.1.9) будет определяться лишь

величиной Охепл» т- е- формулой (4.1.10). Следовательно, по клас­

97

сической теории, удельная электропроводность

Однако такой вывод противоречил опыту, согласно которому

удельное сопротивление проводника пропорционально не У~Т, а первой степени температуры, т. е. р ~ Т.

Это была первая неудача классической электронной теории. Классическая электронная теория не смогла также подтвердить опытные данные по значению молекулярной теплоемкости метал­ лов в законе Дюлонга и Пти (см. § 4.2).

Эти неудачи классической электронной теории, развитой Друде, объясняются тем, что электроны в металле нельзя рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся статистике Максвелла—Больц­ мана. Исследования показали, что электроны в металле необходимо рассматривать не как идеальный газ, а как вырожденный элек­ тронный газ, к которому применима квантовая статистика Ферми— Дирака, а не статистика Максвелла—Больцмана.

Однако следует заметить, что еще до появления квантовой ста­ тистики классическая теория электропроводности была развита несколько дальше Лоренцом.

Лоренц фактически решил ту же задачу, что и Друде, но более строгим методом. Он использовал распределения Максвелла—Больц­ мана, причем учитывал не только столкновения свободных элек­ тронов друг с другом, но и столкновения этих электронов с поло­ жительными ионами решетки (последние рассматривались как идеально твердые неподвижные шарики).

В результате для удельной электропроводности о Лоренцом была получена формула

2 е2п %

(4Л.11)

3 m 1>тепл

которая отличается от (4.1.9) лишь численным коэффициентом 4/3, который был назван поправкой Лоренца.

Следовательно, более строгое решение Лоренца в рамках клас­ сической теории также не привело к нужным результатам.

4.1.2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ

В квантовой теории электропроводности, как указывалось, элек­ троны в металле считаются сильно вырожденным электронным га­ зом, подчиняющимся распределению Ферми—Дирака (см. § 1.2).

98

Используя это распределение, Зоммерфельд, следуя логической схеме Лоренца, получил для электропроводности о выражение

тСтепл (Ц) ’

совпадающее по внешнему виду с классической формулой (4.1.9). Однако в (4.1.12) ряд величин имеет другое значение, а именно:

К (р) — средняя длина свободного пробега электрона, обладаю­

щего энергией Ферми, а итепл (р) — средняя скорость этого элек­ трона (см._§ 1.2). При этом, если в классической формуле (4.1.9)

^тепл ' ■ l/"Т > т0 в формуле (4.1.12) отепл (р) практически не за­ висит от температуры, так как энергия р почти не изменяется с изг менением температуры Т.

Кроме того, квантовая теория другой смысл вкладывает в по­ нятие о средней длине свободного пробега, считая, что в основном сопротивление металла объясняется рассеянием электронов на не­ однородностях решетки. Поэтому квантовая теория не может счи­

тать X величиной порядка постоянной решетки.

Хотя по формулам Зоммерфельда в законе Видемана—Франца (см. § 4.2) получился коэффициент л2/'3, который хорошо согласо­ вался с опытом, однако непосредственное использование классиче­ ского метода Лоренца с привлечением распределения Ферми—Ди­ рака не было оправданным и правильным.

Последовательное и правильное применение квантовой теории к расчету электропроводности металлов, как показали дальнейшие исследования, заключалось в применении к электронам в металлах статистики Ферми—Дирака, но с учетом структуры их энергетиче­ ских зон. При таком рассмотрении часто встречается величина, равная отношению энергии кванта излучения hv к средней энергии kT теплового движения

имеет размерность температуры, поэтому такую температуру стали называть характеристической температурой (см. § 4.2).

Введение температуры 0 имеет тот смысл, что температура твер­ дого тела обычно сравнивается с 0. Например, область низких температур будет определяться неравенством Т 0, а область вы­ соких температур Т > 9- Такое сравнение целесообразно еще и потому, что при рассмотрении колебательных процессов энергия квантового осциллятора будет кратной величине hv.

Расчет электропроводности для случая высоких температур (Т > 0). При рассмотрении рассеяния электронов на неоднородно-

99